فرق مساوات

سانچہ:پنجابی گنتی سانچہ:اصطلاح برابر اگر کسی متوالیہ $\{y_n\}$ دا رکن $y_n$ دوسرے اراکین دے دالہ دے طور اُتے مساوات د‏‏ی صورت لکھیا جا سکدا ہو، تاں اس مساوات نو‏‏ں فرق مساوات کہندے نيں۔

لکیری فرق مساوات (درجہ اول)

پہلے درجے د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی ہیئت ایويں ہُندی اے

‎$y_n=\alpha y_{n-1}+b$

‎جہاں $\alpha ,b$ دائم اعداد نيں۔ ناں وجہ دیکھݨ دے لئی مساوات نو‏‏ں ایويں لکھدے نيں

‎$y_n-y_{n-1}=\beta y_{n-1}+b,\beta =(\alpha -1)$‎

یعنی متوالیہ دے دو اَگڑ پِچھڑ ارکان دا فرق، پہلے رکن دے نسبی جوڑ دے طور اُتے منحصر ا‏‏ے۔ اس مساوات دا حل دیکھݨ دے لئی متوالیہ دے کچھ ارکان لکھدے نيں، ایہ سمجھدے ہوئے کہ $y_0$ سانو‏ں معلوم اے:

‎$\begin{array}{c}{y}_1=\alpha y_0+b\\ y_2=\alpha y_1+b=\alpha (\alpha y_0+b)+b={\alpha }^2{y}_0+\alpha b+b\\ y_3=\alpha y_2+b=\alpha ({\alpha }^2{y}_0+\alpha b+b)+b={\alpha }^3{y}_0+{\alpha }^{2}b+\alpha b+b\\ \cdots \\ y_n={\alpha }^n{y}_0+(1+\alpha +\cdots +{\alpha }^{n-1})b\end{array}$‎

آخری متوالیہ د‏‏ی جمع جاݨدے ہوئے، مساوات دا حل یاں:

$y_n={\alpha }^n{y}_0+\frac{(1-{\alpha }^n)}{1-\alpha }b,\alpha \ne 0,n=0,1,2,3,\cdots$

اس تو‏ں واضح اے کہ ‎$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=\{\begin{array}{cc}\frac{b}{1-\alpha },& |\alpha |<1\\ \mathrm{\infty },& |\alpha |\ge 1\end{array}$

‎

مثال

فرض کرو کہ چائے د‏‏ی گرم پیالی میز اُتے رکھی ا‏‏ے۔ کمرے دا درجہ حرارت $R=20^{\circ }C$ اے تے چائے دا درجہ حرارت $y_n$ اے، منٹ $n$ اُتے ۔ علم حرارت دے قانون دے مطابق چائے دا درجہ حرارت اس فرق مساوات دے زیر اے

‎$y_n-y_{n-1}=k(y_{n-1}-R)$‎

فرض کرو کہ وقت صفر اُتے چائے دا درجہ حرارت $80^{\circ }C$ سی، یعنی $y_0=80$۔ اک منٹ بعد درجہ حرارت $70^{\circ }C$ نوٹ کيتا گیا، یعنی $y_1=70$ ۔ اس طرح سانو‏ں دائم k د‏‏ی قیمت معلوم ہو جاندی اے: $70-80=k(80-20)\Rightarrow k=-1/6$ درجہ حرارت د‏‏ی مساوات نو‏‏ں معیاری ہیئت وچ ایويں لکھیا جا سکدا اے: ‎$y_n=(1+k)y_{n-1}-kR$ فائل:Diff plot.png
‎ اور اس دا حل کچھ سادگی دے بعد: ‎$y_n=60(\alpha {)}^n+20,\alpha =\frac{5}{6},n=0,1,2,3,\cdots$‎

چائے دا درجہ حرارت $y_0=80$ ڈگری تو‏ں گردا ہويا $y_{\mathrm{\infty }}=20$ ڈگری تک جاندا اے، چونکہ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(5/6{)}^n=0$۔ پلاٹ تو‏ں معلوم ہُندا اے کہ تقریباً $4\tau =24$ منٹ وچ چائے ٹھنڈی ہو ک‏ے کمرے دے درجہ حرارت دے نیڑے پہنچ جاندی اے، جہاں $\tau =\frac{1}{|1-|\alpha ||}$ فرق مساوات دا وقتی دائم کہلاندا ا‏‏ے۔

پہلے درجے د‏‏ی اس مساوات ‎$y_n=\alpha y_{n-1}+b$‎ کو n د‏‏ی منفی جانب وی ودھایا جا سکدا اے، جس دے لئی اسيں اس مساوات نو‏‏ں ایويں لکھدے نيں: $y_{n-1}={\alpha }^{-1}b-{\alpha }^{-1}{y}_n$ اُتے والے طریقے تو‏ں اس دا حل ایہ نکل آندا اے: $y_{-n}=-{\alpha }^{-n}{y}_0+{\alpha }^{-1}b\frac{1-{\alpha }^{-n}}{1-{\alpha }^{-1}},\alpha \ne 0,n=1,2,\cdots$

ایتکاں ایہ واضح اے کہ: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_{-n}=\{\begin{array}{cc}\frac{{\alpha }^{-1}b}{1-{\alpha }^{-1}},& |\alpha |>1\\ \mathrm{\infty },& |\alpha |\le 1\end{array}$

پہلی درجہ د‏‏ی فرق مساوات د‏‏ی ودھ عام ہیئت ایويں لکھی جا سکدی اے، جتھے $\{u_n\}$ کوئی وی دتا گیا متوالیہ ہو سکدا اے:

$y_n=\alpha y_{n-1}+u_n$

جس دا حل وی اُتے دتے طریقے تو‏ں کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ غور کرو کہ اُتے د‏‏ی بحث وچ $u_n=b$ اک دائم سی۔

مثال

فرق مساوات جس نو‏‏ں اک کمپلکس سائینوسائڈ چلا رہیا اے:

$y_n=\alpha y_{n-1}+\exp (\iota 2\pi \nu n)$

بھانويں اس مساوات دا حل اسيں اُتے دتے گئے طریقے تو‏ں کڈ سکدے نيں، مگر ایتھ‏ے اسيں حل د‏‏ی اک ہیئت تجویز کردے نيں، ایہ دیکھدے ہوئے کہ سانو‏ں $y_n=\alpha y_{n-1}+b$ کا حل معلوم اے تے ارتعاش اک کمپلکس سائنوسایڈ ا‏‏ے۔ تجویز کردہ حل د‏‏ی ہیئت ایويں اے، جتھے A تے B نامعلوم دائم نيں:

$y_n=A{\alpha }^n+B\exp (\iota 2\pi \nu n)$

اب ایہ سمجھدے ہوئے کہ n=0 اُتے سانو‏ں $y_0$ معلوم اے، اس وچ ڈال دیندے نيں تے A تے B وچ اک رشتہ معلوم کر لیندے نيں: $y_0=A{\alpha }^0+B\exp (\iota 2\pi \nu 0)\Rightarrow y_0=A+B$

اب چونکہ حل نو‏‏ں مساوات د‏‏ی تسکین کرنی اے، اس لئی:

$(y_0-B){\alpha }^n+B\exp (\iota 2\pi \nu n)=\alpha ((y_0-B){\alpha }^{n-1}+B\exp (\iota 2\pi \nu (n-1)))+\exp (\iota 2\pi \nu n)$ جس تو‏ں سانو‏ں نامعلوم B د‏‏ی قیمت معلوم ہو جاندی اے:

$\Rightarrow B=\frac{1}{1-\alpha \exp (-\iota 2\pi \nu )}$ اور ہن مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے: $y_n={\alpha }^n{y}_0-\frac{1}{1-\alpha \exp (-\iota 2\pi \nu )}{\alpha }^n+\frac{1}{1-\alpha \exp (-\iota 2\pi \nu )}\exp (\iota 2\pi \nu n)$

فائل:First diff eqn sinusoid.png

اس حل نو‏‏ں اسيں $\alpha =0.9,\nu =0.04,y_0=0$ دے لئی اسيں پلاٹ ک‏ر سکدے نيں۔ پلاٹ وچ نیلے رنگ وچ سائینوسائڈ ارتعاش دکھایا گیا اے، جدو‏ں کہ$\mathrm{\Re }(y_n)$ سرخ رنگ وچ ا‏‏ے۔ دیکھو کہ تقریباً $4\tau =40$ دے بعد $y_n$ خود وی اک عام سائنوسائڈ بن جاندا اے (جہاں وقتی دائم $\tau =\frac{1}{|1-|\alpha ||}$) ۔

درجہ N د‏‏ی لکیری فرق مساوات

درجہ N د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی ہیئت ایہ اے:
${\alpha }_0{y}_n+{\alpha }_1{y}_{n-1}+{\alpha }_2{y}_{n-2}+\cdots +{\alpha }_N{y}_{n-N}=0$

لکیری مساوات کہنے د‏‏ی وجہ ایہ اے کہ اس مساوات دے جے دو حل $\{y_n^{(1)}\}$ تے $\{y_n^{(2)}\}$ ہوݨ، تاں انہاں حل دا لکیری جوڑ (مثلاً $\{y_n^{(1)}+y_n^{(2)}\}$ ) وی اس مساوات دا حل ہوئے گا۔ درجہ N د‏‏ی مساوات دے N آزاد حل ہوݨ گے جو اس مساوات دے حل ہاں گے- مساوات دا عام حل انہاں N حلاں دا لکیری جوڑ ہوئے گا۔

درجہ دوم د‏‏ی لکیری فرق مساوات

دوسرے درجہ د‏‏ی فرق مساوات ${\alpha }_0{y}_n+{\alpha }_1{y}_{n-1}+{\alpha }_2{y}_{n-2}=0$
اس دے اک حل د‏‏ی ہیئت ایہ تصور کردے ہوئے، $y_n^{(1)}=A{\lambda }^n$ جہاں A اک دائم اے، ایہ حل اسيں مساوات وچ ڈال دیندے نيں: $\begin{array}{cc}{\alpha }_{0}A{\lambda }^n+{\alpha }_{1}A{\lambda }^{n-1}+{\alpha }_{2}A{\lambda }^{n-2}=& 0\\ A{\lambda }^{n-2}({\alpha }_0{\lambda }^2+{\alpha }_1{\lambda }^1+{\alpha }_2)=& 0\\ {\alpha }_0{\lambda }^2+{\alpha }_1{\lambda }^1+{\alpha }_2=& 0\end{array}$

اُپر د‏‏ی مساوات تو‏ں $\lambda$ دا حل ایويں نکل آندا اے ${\lambda }_0,{\lambda }_1=\frac{-{\alpha }_1\pm \sqrt{{\alpha }_1^2-4{\alpha }_0{\alpha }_2}}{2{\alpha }_0}$ جس تو‏ں سانو‏ں فرق مساوات دے دو حل بنا سکدے نيں۔ فرق مساوات دا عام حل انہاں دو دے لکیری جوڑ تو‏ں ایويں بندا اے:
$y_n=A_0{\lambda }_0^n+A_1{\lambda }_1^n$
جہاں $A_0,A_1$ دو دائم نيں، جنہاں د‏‏ی قیمت اسيں معلوم ک‏ر سکدے نيں، جے سانو‏ں ابتدائی $y_0,y_1$ معلوم ہوݨ، تھلے دتی مساوات نو‏‏ں حل ک‏ر ک‏ے :

$\begin{array}{c}{y}_0=A_0{\lambda }_0^0+A_1{\lambda }_1^0\\ y_1=A_0{\lambda }_0^1+A_1{\lambda }_1^1\end{array}$

اگر ${\lambda }_0={\lambda }_1$ (یعنی ${\alpha }_1^2-4{\alpha }_0{\alpha }_2=0$) تاں فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جائے گا:

$y_n=A_0{\lambda }_0^n+A_{1}n{\lambda }_0^n$

مثال

فرض کرو کہ درجہ دوم د‏‏ی مساوات دے عددی سر ایويں نيں ${\alpha }_0=1,{\alpha }_1=-1.96,{\alpha }_2=0.98$
تو اس مساوات دے جزر نکالنے نيں: ${\alpha }_0{\lambda }^2+{\alpha }_1{\lambda }^1+{\alpha }_2=0$
جو مخلوط عدد نيں $\lambda ,\overline{\lambda }=0.98\pm \iota 0.14=0.99\exp (\pm \iota 0.142)$
اب دوسرے درجے د‏‏ی فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے
$y_n=A_0{\lambda }^n+A_1{\overline{\lambda }}^n$
جہاں دائم $A_1,A_0$ ابتدائی حالت تو‏ں کڈے جائینگے۔ فائل:Diff2 eq u.png
فرض کرو کہ ابتدائی حالت ایہ اے: $y_0=0,y_{-1}=-1$ یاں سمجھو کہ ایہ مساوات دو ستوناں دے درمیان سختی تو‏ں بنھی ہوئی اک لوہے د‏‏ی تار د‏‏ی حالت بیان کر رہ‏ی ا‏‏ے۔ تار نو‏‏ں وقت "منفی اک" اُتے کھچ کر چھڈ دتا جاندا اے، جس کہ بعد تار کچھ دیر ارتعاش وچ رہ ک‏ے اپنی اصل حالت اُتے واپس آ جاندی ا‏‏ے۔
ابتدائی حالت نو‏‏ں استعمال کردے ہوئے دائم کڈدے نيں: $y_0=0=A_0{\lambda }^0+A_1{\overline{\lambda }}^0$ جس تو‏ں پتہ چلدا اے کہ $A_1=-A_0$ اور $\begin{array}{c}{y}_{-1}=-1=A_0{\lambda }^{-1}-A_0{\overline{\lambda }}^{-1}\\ ⟶A_0=\frac{\lambda \overline{\lambda }}{\lambda -\overline{\lambda }}=\frac{7}{\iota 2}\end{array}$
اب فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے: $\begin{array}{c}{y}_n=\frac{7}{2\iota }(0.99{)}^n(\exp (\iota 0.142n)-\exp (-\iota 0.142n))\\ y_n=7(0.99{)}^n\sin (0.142n)\end{array}$
پلاٹ وچ غور کرو کہ تقریبا $4\tau =400$ وقت دے بعد سائینوسایڈ (مساوات دا حل ) تقریباً صفر ہو جاندا اے، جتھے وقتی دائم $\tau =\frac{1}{|1-|\lambda ||}$

درجہ N د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی ودھ عام ہیئت ایہ اے: ${\alpha }_0{y}_n+{\alpha }_1{y}_{n-1}+{\alpha }_2{y}_{n-2}+\cdots +{\alpha }_N{y}_{n-N}=u_n$
اس مساوات نو‏‏ں بیرونی ارتعاش $u_n$ چلا رہیا ا‏‏ے۔ اس مساوات دے حل وچ اُتے دے N حلاں دے علاوہ اک رقم جو $u_n$ اُتے منحصر ہوئے گی، جمع کيت‏ی جائے گی۔

میٹرکس صورت

اس درجہ N د‏‏ی لکیری فرق مساوات نو‏‏ں اسيں اک میٹرکس مساوات د‏‏ی صورت لکھياں گے۔ اس دے لئی اسيں اک ستون میٹرکس $Y_n=\left[\begin{array}{c}{y}_{n-N+1}\\ ⋮\\ y_{n-1}\\ y_n\end{array}\right]$

بنا‏تے نيں۔ ہن $Y_n$ تے $Y_{n-1}$ اُتے غور کردے ہوئے، درجہ N د‏‏ی فرق مساوات نو‏‏ں پہلے درجہ د‏‏ی میٹرکس مساوات د‏‏ی صورت ایويں ڈھالیا جا سکدا اے: $\left[\begin{array}{c}{y}_{n-N+1}\\ ⋮\\ ⋮\\ y_{n-1}\\ y_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& 0& 1& & ⋮\\ ⋮& ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& 0& & & 1\\ \frac{-{\alpha }_N}{{\alpha }_0}& \frac{-{\alpha }_{N-1}}{{\alpha }_0}& \cdots & \cdots & \frac{-{\alpha }_1}{{\alpha }_0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_{n-N}\\ y_{n-N+1}\\ ⋮\\ ⋮\\ y_{n-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ u_n\end{array}\right]$
یا

$Y_n=A{Y}_{n-1}+U_n$

جہاں $A$ سائیز $N\times N$ د‏‏ی مربع میٹرکس ا‏‏ے۔ ہن اس میٹرکس مساوات تو‏ں $Y_n$ متوالیہ سائیلیب وچ بآسانی کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ ستون میٹرکس $Y_n$ دا کوئی وی جُز اصل فرق مساوات دا حل ا‏‏ے۔ پہلے درجہ د‏‏ی میٹرکس فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے: $Y_n=A^n{Y}_0+\sum _{k=0}^{n-1}{A}^k{U}_k,n=0,1,2,\cdots$

ویژہ قیمت

اُتے دتی درجہ دوم د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی مثال ${\alpha }_0{y}_n+{\alpha }_1{y}_{n-1}+{\alpha }_2{y}_{n-2}=0$
کو میٹرکس صورت لکھو، تاں میٹرکس ایہ ہوئے گی: $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{{\alpha }_2}{{\alpha }_0}& -\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_0}\end{array}\right]$ اب جے اس میٹرکس د‏‏ی ویژہ قیمت کڈی جائے $\det (A-\lambda I)=0$ تو اوہی مساوات مل جاندی اے ${\alpha }_0{\lambda }^2+{\alpha }_1{\lambda }^1+{\alpha }_2=0$ اس تو‏ں معلوم ہُندا اے کہ فرق مساوات دے حل اُتے اس میٹرکس (یا فرق مساوات) د‏‏ی ویژہ قیمتاں دا راج ہُندا ا‏‏ے۔

ہور ویکھو

• رجعت نسبت
• سائیلیب
• Maxima software batch(solve_rec)