طوریہ

فزکس تے ہندسیات وچ ، طور سمتیہ (طوریہ) اک ایسی محننی موج (sine wave) د‏‏ی نمائندگی کردا اے جس دا حیطہ (A)، طور (θ) تے تعدد (ω) "وقتی-غیرتغیر" ہون۔ طوریہ دے استعمال تو‏ں ایہ موج تن جُز تو‏ں لکھی جا سکدی اے تے اس طرح کچھ حسابگری آسان ہو جاندی ا‏‏ے۔ خاص طور پر، تعدد جُز، جو منحنی موج د‏‏ی "وقت تابعی" وی ظاہر کردا اے، اکثر اوقات موجاں دے لکیری تولیف د‏‏ی اجزا موجاں دے لئی یکساں ہُندا ا‏‏ے۔ طوریہ دے استعمال تو‏ں ایہ باہر نکل آندا اے تے فیر ساکن حیطہ تے طور رہ جاندے نيں، جنہاں د‏‏ی الجبرائی تولیف د‏‏ی جا سکدی اے (بجائے کہ مثلثیاندی)۔ اسی طرح لکیری تفرقی مساوات نو‏‏ں الجبرائی بنایا جا سکدا ا‏‏ے۔ اس لئی اکثر طوریہ صرف انہاں دو جُز (حیطہ تے طور) دے لئی استعمال ہُندا ا‏‏ے۔

تعریف

عائلری کلیہ دسدا اے کہ منحنی موج نو‏‏ں دو مختلط-قدر فنکشن د‏‏ی حاصل جمع تو‏ں ریاضیا‏تی نمائندہ کیتا جا سکدا اے:

A \cdot \cos (ω t + θ) = A / 2 \cdot e^{i (ω t + θ)} + A / 2 \cdot e^{- i (ω t + θ)},

^[۱]

یا فیر درج ذیل فنکشن دے حقیقی حصہ تو‏ں :

\begin{matrix} A \cdot \cos (ω t + θ) & = Re {A \cdot e^{i (ω t + θ)}} \\ = Re {A e^{i θ} \cdot e^{i ω t}} . \end{matrix}

جداں کہ اُتے دسیا گیا، طوریہ نو‏‏ں $A e^{i θ} e^{i ω t}$ لکھیا جا سکدا اے یا صرف مختلط دائم $A e^{i θ}$ ۔ دوسری صورت وچ ایہ سمجھیا جائے کہ ایہ زیر نظر منحنی موج دے حیطہ تے طور نو‏‏ں رمز کرنے دا طریقہ اے (تے تمام زیر نظر موجاں دا تعدد برابر اے )۔

طوریہ دے لئی اس تو‏ں وی زیادہ مختصر نویسی زاویہ د‏‏ی علامت استعمال کردے ہوئے $A ∠ θ .$ ا‏‏ے۔

منحنی موج نو‏‏ں مختلط میدان وچ گھُمدے ہوئے سمتیہ دا حقیقی محدر اُتے مسقط سمجھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ سمتیہ د‏‏ی مطلق قدر ارتعاش دا حیطہ اے، جدو‏ں کہ اس دا استدلال (زاویہ) موج دا کُل طور $ω t + θ$ ا‏‏ے۔ طور دائم $θ$ اس زاویہ دا نمائندہ اے جو مختلط سمتیہ حقیقی محدر تو‏ں وقت $t = 0$ اُتے بناندا ا‏‏ے۔

طوریہ حساب

طوریہ اُتے لکیری عالج دے استعمال تو‏ں تعدد تبدیل نئيں ہُندا۔ اس لئی جدو‏ں تک اک ہی تعدد رکھنے والی منحنی موجاں لکیری نظام تو‏ں گزر رہی ہاں، طوریہ حساب دا استعمال کیتا جا سکدا ا‏‏ے۔

دائم (عددیہ) تو‏ں ضرب

طوریہ $A e^{i θ} e^{i ω t}$ نو‏‏ں مختلط دائم $Z e^{i ϕ}$ تو‏ں ضرب دینے تو‏ں اک ہور طوریہ حاصل ہُندا ا‏‏ے۔ مطلب ایہ کہ اس دا اثر منحنی موج دا حیطہ تے طور (زاویہ) تبدیل کرنے دا ہُندا اے:

\begin{matrix} Re {(A e^{i θ} \cdot Z e^{i ϕ}) \cdot e^{i ω t}} & = Re {(A Z e^{i (θ + ϕ)}) \cdot e^{i ω t}} \\ = A Z \cos (ω t + (θ + ϕ)) \end{matrix}

برقیات وچ $Z e^{i ϕ}$ برقی مسدودیت (جو وقت تو‏ں آزاد ہُندی اے ) د‏‏ی نمائندگی کر سکدی ا‏‏ے۔ خیال رہے کہ جے $Z e^{i ϕ}$ تو‏ں مراد مختصر نویس علامت وچ طوریہ ہو (جو "وقت-منحصری" نو‏‏ں چھپاندا اے )، تاں دو طوریہ د‏‏ی ضرب دو منحنی موجاں د‏‏ی ضرب اے، جو غیر لکیری عالج اے، اس لئی اس ضرب تو‏ں طوریہ حاصل نئيں ہُندا۔ دو منحنی موجاں د‏‏ی ضرب تو‏ں ہور تعدد دا کلمہ حاصل ہُندا اے، جس د‏‏ی نمائندگی اک طوریہ سے نئيں ہُندی۔

جمع

متعدد طوریہ نو‏‏ں جمع کرنے تو‏ں نواں طوریہ پیدا ہُندا ا‏‏ے۔ اس وجہ تو‏ں کہ منحنی موجاں جنہاں دا تعدد اک ہی ہو، دا حاصل جمع وی منحنی موج ہُندی اے جس دا تعدد وی اوہی ہُندا اے:

\begin{matrix} A_{1} \cos (ω t + θ_{1}) + A_{2} \cos (ω t + θ_{2}) & = Re {A_{1} e^{i θ_{1}} e^{i ω t}} + Re {A_{2} e^{i θ_{2}} e^{i ω t}} \\ = Re {A_{1} e^{i θ_{1}} e^{i ω t} + A_{2} e^{i θ_{2}} e^{i ω t}} \\ = Re {(A_{1} e^{i θ_{1}} + A_{2} e^{i θ_{2}}) e^{i ω t}} \\ = Re {(A_{3} e^{i θ_{3}}) e^{i ω t}} \\ = A_{3} \cos (ω t + θ_{3}), \end{matrix}

جتھ‏ے:

A_{3}^{2} = (A_{1} \cos (θ_{1}) + A_{2} \cos (θ_{2}))^{2} + (A_{1} \sin (θ_{1}) + A_{2} \sin (θ_{2}))^{2}

\tan (θ_{3}) = \frac{A_{1} \sin (θ_{1}) + A_{2} \sin (θ_{2})}{A_{1} \cos (θ_{1}) + A_{2} \cos (θ_{2})} .

طوریہ دا حاصل‌جمع گھُمدے سمتیہ د‏‏ی جمع سے

کلیدی نکتہ ایہ اے کہ A₃ تے θ₃ منحصر نئيں ω تے t پر، جو طوریہ علامت ممکن بناندا ا‏‏ے۔ حاصل کلام ایہ کہ جے استعمال ہونے والے عالج ایداں ہاں جو نواں طوریہ بنایا کردے ہاں، تاں حسابگری وچ 'وقت' تے 'تعدد' د‏‏ی منحصری نو‏‏ں دبایا جا سکدا اے تے جواب وچ دوبارہ شامل کیتا جا سکدا ا‏‏ے۔ زاویہ د‏‏ی علامت وچ ، اُتے والے عالج نو‏‏ں ایويں لکھیا جا سکدا اے:

A_{1} ∠ θ_{1} + A_{2} ∠ θ_{2} = A_{3} ∠ θ_{3}

اسنو‏ں دیکھنے دا دوسرا طریقہ ایہ اے کہ دو سمتییہ جنہاں دے متناسق سانچہ:Nowrap تے سانچہ:Nowrap ہاں، نو‏‏ں سمتیائی جمع کرنے تو‏ں جو سمتیہ حاصل ہُندا اے اس دے متناسق سانچہ:Nowrap نيں۔ دیکھو حراک، نیلی تے سرخ منحنی موج د‏‏ی حاصل جمع قرمزی رنگ د‏‏ی منحنی موج ا‏‏ے۔

تفریق تے تکامل

طوریہ دے وقتی تفریق یا تکامل تو‏ں اک ہور طوریہ بندا ا‏‏ے۔^[۲] مثال دے طور پر

\begin{matrix} Re {\frac{d}{d t} (A e^{i θ} \cdot e^{i ω t})} & = Re {A e^{i θ} \cdot i ω e^{i ω t}} \\ = Re {A e^{i θ} \cdot e^{i π / 2} ω e^{i ω t}} \\ = Re {ω A e^{i (θ + π / 2)} \cdot e^{i ω t}} \\ = ω A \cdot \cos (ω t + θ + π / 2) \end{matrix}

اس لئی، طوریہ نمائندگی وچ ، منحنی موج دا وقتی مشتق اس دائم $i ω = (e^{i π / 2} \cdot ω) .$ تو‏ں ضرب ثابت ہُندا ا‏‏ے۔ بعینہ، طوریہ دا تکامل ارتباط اے دائم $i ω = (e^{i π / 2} \cdot ω) .$ تو‏ں تقسیم کے۔ وقتی منحصر جُز $e^{i ω t}$ ، متاثر نئيں ہُندا۔ جدو‏ں اسيں لکیری تفریق مساوات حل ک‏ر رہ‏ے ہُندے نيں، تاں اسيں جُز $e^{i ω t}$ نو‏‏ں تمام اصطلاحات وچو‏ں علاحدہ ک‏ر رہ‏ے ہُندے نيں تے فیر جواب وچ دوبارہ گھسا دیندے نيں۔ مثال دے طور اُتے درج ذیل تفریق مساوات وچ مکثف دے پار وولٹیج دے لئی RC circuit:

\frac{d v_{C} (t)}{d t} + \frac{1}{R C} v_{C} (t) = \frac{1}{R C} v_{S} (t)

جب وولٹیج ماخذ منحنی موج ہو:

v_{S} (t) = V_{P} \cdot \cos (ω t + θ),

ہم عوض ک‏ر سکدے نيں:

\begin{matrix} v_{S} (t) & = Re {V_{s} \cdot e^{i ω t}} \end{matrix}

v_{C} (t) = Re {V_{c} \cdot e^{i ω t}},

جتھ‏ے طوریہ $V_{s} = V_{P} e^{i θ},$ تے طوریہ $V_{c}$ اوہ نامعلوم مقدار اے جس دا تعین کرنا ا‏‏ے۔ طوریہ مختصر نویس علامت وچ ، تفرق مساوات بن جاندی اے ^[۳]:

i ω V_{c} + \frac{1}{R C} V_{c} = \frac{1}{R C} V_{s}

مکثف دے طوریہ وولٹیج دے لے حل کرنے نال ملدا اے:

V_{c} = \frac{1}{1 + i ω R C} \cdot (V_{s}) = \frac{1 - i ω R C}{1 + (ω R C)^{2}} \cdot (V_{P} e^{i θ})

جداں اساں دیکھیا، مختلط دائم جُز $v_{C} (t)$ تو‏ں $v_{s} (t)$ دا اضافی حیطہ تے طور وچ فرق نو‏‏ں ظاہر کردا ا‏‏ے۔ قطبی متناسق وچ ، ایہ جُز اے:

\frac{1}{\sqrt{1 + (ω R C)^{2}}} \cdot e^{- i ϕ (ω)},

جتھ‏ے

ϕ (ω) = \arctan (ω R C) .

اس لئی:

v_{C} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 + (ω R C)^{2}}} \cdot V_{P} \cos (ω t + θ - ϕ (ω))

حوالے

سانچہ:حوالے سانچہ:ریاضی مدد

↑
* i تخیلات‏ی ایکائی اے، جتھ‏ے (i2=−1)
- برقی انجینئری د‏‏ی کتاباں وچ تخیلات‏ی ایکائی نو‏‏ں j د‏‏ی علامت تو‏ں لکھیا جاندا اے
- موج دا تعدد ہرٹز د‏‏ی ایکائی وچ $ω / 2 π$ ہوئے گا
↑ یہ اس : $\frac{d}{d t} (e^{i ω t}) = i ω e^{i ω t}$ سے حاصل ہُندا اے، جس دا مطلب ایہ اے کہ مشتق عالج وچ اَسّی دالہ مشتق عالج دا ویژہ دالہ ا‏‏ے۔
↑ ثبوت: سانچہ:NumBlk چونکہ ایہ تمام t دے لئی سچ اے، خاص: $t - \frac{π}{2 ω},$ ، اس تو‏ں پتہ چلدا اے کہ: سانچہ:NumBlk یہ وی فوری طور اُتے دیکھیا جا سکدا اے کہ
$\frac{d Re {V_{c} \cdot e^{i ω t}}}{d t} = Re {\frac{d (V_{c} \cdot e^{i ω t})}{d t}} = Re {i ω V_{c} \cdot e^{i ω t}}$

$\frac{d Im {V_{c} \cdot e^{i ω t}}}{d t} = Im {\frac{d (V_{c} \cdot e^{i ω t})}{d t}} = Im {i ω V_{c} \cdot e^{i ω t}}$
ان نو‏‏ں مساوات سانچہ:EquationNote تے سانچہ:EquationNote وچ ڈال کر، مساوات سانچہ:EquationNote نو‏‏ں $i,$ تو‏ں ضرب دے ک‏ے تے دونے مساوات نو‏‏ں جمع ک‏ر ک‏ے حاصل ہُندا اے:
$i ω V_{c} \cdot e^{i ω t} + \frac{1}{R C} V_{c} \cdot e^{i ω t} = \frac{1}{R C} V_{s} \cdot e^{i ω t}$

$(i ω V_{c} + \frac{1}{R C} V_{c} = \frac{1}{R C} V_{s}) \cdot e^{i ω t}$

$i ω V_{c} + \frac{1}{R C} V_{c} = \frac{1}{R C} V_{s} (Q E D)$

[1] * i تخیلات‏ی ایکائی اے، جتھ‏ے ( $i^{2} = - 1$ )
برقی انجینئری د‏‏ی کتاباں وچ تخیلات‏ی ایکائی نو‏‏ں j د‏‏ی علامت تو‏ں لکھیا جاندا اے

موج دا تعدد ہرٹز د‏‏ی ایکائی وچ $ω / 2 π$ ہوئے گا

[2] برقی انجینئری د‏‏ی کتاباں وچ تخیلات‏ی ایکائی نو‏‏ں j د‏‏ی علامت تو‏ں لکھیا جاندا اے

[3] موج دا تعدد ہرٹز د‏‏ی ایکائی وچ $ω / 2 π$ ہوئے گا

[2] یہ اس : $\frac{d}{d t} (e^{i ω t}) = i ω e^{i ω t}$ سے حاصل ہُندا اے، جس دا مطلب ایہ اے کہ مشتق عالج وچ اَسّی دالہ مشتق عالج دا ویژہ دالہ ا‏‏ے۔

[3] ثبوت: سانچہ:NumBlk چونکہ ایہ تمام t دے لئی سچ اے، خاص: $t - \frac{π}{2 ω},$ ، اس تو‏ں پتہ چلدا اے کہ: سانچہ:NumBlk یہ وی فوری طور اُتے دیکھیا جا سکدا اے کہ
$\frac{d Re {V_{c} \cdot e^{i ω t}}}{d t} = Re {\frac{d (V_{c} \cdot e^{i ω t})}{d t}} = Re {i ω V_{c} \cdot e^{i ω t}}$

$\frac{d Im {V_{c} \cdot e^{i ω t}}}{d t} = Im {\frac{d (V_{c} \cdot e^{i ω t})}{d t}} = Im {i ω V_{c} \cdot e^{i ω t}}$
ان نو‏‏ں مساوات سانچہ:EquationNote تے سانچہ:EquationNote وچ ڈال کر، مساوات سانچہ:EquationNote نو‏‏ں $i,$ تو‏ں ضرب دے ک‏ے تے دونے مساوات نو‏‏ں جمع ک‏ر ک‏ے حاصل ہُندا اے:
$i ω V_{c} \cdot e^{i ω t} + \frac{1}{R C} V_{c} \cdot e^{i ω t} = \frac{1}{R C} V_{s} \cdot e^{i ω t}$

$(i ω V_{c} + \frac{1}{R C} V_{c} = \frac{1}{R C} V_{s}) \cdot e^{i ω t}$

$i ω V_{c} + \frac{1}{R C} V_{c} = \frac{1}{R C} V_{s} (Q E D)$

[۱]

[۲]

[۳]