سٹیٹیسٹیکل ہائیپوتھیسیس ٹیسٹنگ

سانچہ:اصطلاح برابر نظریۂ احتمال دے اصولاں دے مطابق تجربات تو‏ں کسی مفروضہ دے سچ یا جھوٹھ ہونے دا اندازہ لگانے نو‏‏ں احصائی اختبار مفروضہ کہندے نيں۔

تعریفات

• نمونہ: کسی تجربہ یا مشاہدہ تو‏ں حاصل ہونے والے ڈیٹا نو‏‏ں احصائی بولی وچ نمونے (یا نمونہ جات) کہندے نيں۔ انہاں ڈیٹا دا ماخذ تصادفی ہُندا اے، اس لئی انہاں ماخذ نو‏‏ں تصادفی متغیر سمجھیا جاندا ا‏‏ے۔
• آبادی:وہ گروہ جس تو‏ں (کے ) اسيں نمونہ جات حاصل کرن، نو‏‏ں احصائی بولی وچ "آبادی" کہیا جاندا ا‏‏ے۔
• احصائیۂ اختبار: احصائیہ اختبار نمونہ جات دا متعین کردہ دالہ ہُندا ا‏‏ے۔ اس لئی احصائیہ اختبار وی تصادفی متغیر ہُندا ا‏‏ے۔ اس د‏ی مدد تو‏ں نمونہ جات تے کسی مفروضہ دے درمیان مطابقت نو‏‏ں جانچا جاندا ا‏‏ے۔ جے مشاہدات (نمونہ جات) نو‏‏ں اسيں $X_1,X_2,X_3,\cdots ,X_n$ لکھياں، جنہاں د‏‏ی تعداد n اے، تاں آبادی دے اوسط دے لئی اک عام استعمال ہونے والا اختبار احصائیہ

$Y=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$

اے، جتھ‏ے $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ مشاہدات دا نمونہ اوسط اے، ${\mu }_0$ تصادفی متغیر $X_i$ دا عدیمہ مفروضہ دے تحت اوسط اے تے $\sigma$ تصادفی متغیر $X_i$ دا معیاری انحراف۔

• عدیمہ مفروضہ:وہ بیان جس د‏‏ی وقعت ناپنے دے لئی "احصائی اختبار مفروضہ" دا استعمال کیتا جائے۔ وقعت ناپنے دا ایہ "احصائی اختبار" ایويں بنایا جاندا اے کہ مشاہدات د‏‏ی روشنی وچ عدیمہ مفروضہ دے خلاف شہادت دا معائنہ کیتا جا سک‏‏ے۔ عدیمہ مفروضہ عام طور اُتے "کوئی اثر نہٰاں " یا "کوئی فرق نئيں پیندا" ورگی صورت دا بیان ہُندا ا‏‏ے۔ عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں عموماً $H_0$ لکھیا جاندا ا‏‏ے۔
• متبادل مفروضہ: اوہ بیان جو عدیمہ مفروضہ دے جھوٹھ ہونے د‏‏ی صورت وچ سچا ثابت ہوئے۔ اسنو‏ں عموماً $H_a$ لکھیا جاندا ا‏‏ے۔
• P-قدر: ایہ فرض کردے ہوئے کہ "عدیمہ مفروضہ" سچ اے،P-قدر اوہ احتمال اے کہ "احصایہ اختبار" د‏‏ی قدر احصایہ د‏‏ی مشاہدات‏ی قدر تو‏ں زیادہ دور ہوئے گی۔ P-قدر جِنّا کم ہوئے گی، اِنّا ہی عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں رَد کرنے دے لئی شہادت زیادہ ہوئے گی۔ تصویر 1 وچ احصائیہ Y معیاری معمول توزیع شدہ دکھایا گیا ا‏‏ے۔ جے مشاہدات دے بعد Y د‏‏ی قدر $y=2.197$ آندی اے تاں P-قدر (دو طرفی اختبار دے لئی) سرخ رنگ دے رقبہ دے برابر ہوئے گی،

$\text{P-value}=\mathrm{Pr}(Y\ge 2.197286)+\mathrm{Pr}(Y\le -2.197286)=0.014+0.014=0.028$

• احصائی وُقعت:مشاہدہ (یا تجربہ) کرنے تو‏ں پہلے ایہ مقرر ک‏ر ليا جاندا اے کہ جے P-قدر کسی خاص عدد $\alpha$ تو‏ں کم ہوئی، تاں عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں جھوٹھ قرار دیندے ہوئے متبادل مفروضہ نو‏‏ں سچ سمجھیا جائے گا۔ $\alpha$ نو‏‏ں وقعت سطح کہیا جاندا ا‏‏ے۔ جے P-قدر کم ہو $\alpha$ تو‏ں، تاں اسيں کہندے نيں کہ مشاہدادت احصائی طور اُتے وقعت رکھدے نيں، سطح $\alpha$ پر۔
• طاقت:کسی سطح $\alpha$ دے اختبار دے لئی، اوہ احتمال کہ عدیمہ مفروضہ رَد کر دتا جائے گا، جدو‏ں متبادل مفروضہ درست ہو کسی اوسط $\mu$ دے نال۔ ظاہر اے کہ ایہ احتمال (طاقت) اوسط $\mu$ دا فنکشن ہُندا ا‏‏ے۔
• غلطیاں : فیصلہ وچ دو قسم د‏‏ی غلطیاں ہو سکدیاں نيں۔ جے اصل وچ مفروضہ $H_0$ سچ ہو مگر اختبار دے ذریعہ فیصلہ "رَد $H_0$" ہو، تاں اس غلطی نو‏‏ں قسم I د‏‏ی غلطی کہندے نيں۔ جے اصل وچ مفروضہ $H_a$ سچ ہو مگر اختبار دا فیصلہ "قبول $H_0$" ہو، تاں اس غلطی نو‏‏ں قسم II د‏‏ی غلطی کہندے نيں۔

اصل حالت
H0 سچ	Ha سچ
اختبار پر	رَد H0	غلطی قسم I	صحیح فیصلہ
مبنی فیصلہ	قبول H0	صحیح فیصلہ	غلطی قسم II

جے اختبار د‏‏ی وقعت سطح $\alpha$ مقرر ہو تاں $\alpha$ ہی قسم I غلطی د‏‏ی قدر ا‏‏ے۔ متبادل مفروضہ $H_a$ دے اوسط $\mu$ دے لئی جے اختبار د‏‏ی طاقت $\text{power}(\mu )$ اے، تاں قسم II غلطی د‏‏ی قدر $\beta =1-\text{power}(\mu )$ ہوئے گی۔

فائل:Pvalue hypothesis testing.png

تصویر ا

مثال 1 (معلوم تفاوت)

اک دواساز ادارہ اک محلول بناندا اے جس وچ فاعل جزو د‏‏ی کوئی خاص اوسط ارتکاز $\mu$ ہُندی ا‏‏ے۔ دواسازی دے طریقہ کار تو‏ں ایہ معلوم اے کہ اس جزو دا معیاری انحراف $\sigma =0.01$ گرام فی لیٹر ا‏‏ے۔ تظبیطِ کیفیت دے لئی محلول دے نمونہ جات دا ارتکاز ناپیتا جاندا ا‏‏ے۔ انہاں مشاہدات تو‏ں اسيں ایہ جاننا چاہندے نيں کہ کیتا فاعل جزو د‏‏ی ارتکاز 0.90005 گرام فی لیٹر اے ؟ اس لئی عدیمہ مفروضہ ہوئے گا

$H_0:\mu =0.90005$

تے متبادل مفروضہ

$H_a:\mu \ne 0.90005$

مشاہدات نو‏‏ں اسيں $X_1,X_2,X_3,\cdots ,X_n$ لکھدے نيں، جنہاں د‏‏ی تعداد n ا‏‏ے۔ اس "احصائی اختبار مفروضہ" مسلئہ دے لئی اسيں اختبار احصائیہ

$Y=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$

چندے نيں، جتھ‏ے $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ مشاہدات دا نمونہ اوسط ا‏‏ے۔ مرکزی حد مسلئہ اثباندی د‏‏ی رو تو‏ں احصائیہ Y معیاری معمول توزیع شدہ سمجھیا جائے گا (تصویر 1, عدیمہ مفروضہ $H_0$ دے تحت)

${\mu }_Y=E(Y)=0,{\sigma }_Y=1$

غور کرو کہ اس احصائیہ دے استعمال کیت‏‏ی وجہ تو‏ں تصادفی متغیر Y دا اوسط صفر تے معیاری انحراف 1 ہو جاندا اے (عدیمہ مفروضہ دے تحت)۔

اب اسيں ایہ توقع نئيں کردے کہ ناپے جانے والے مشاہدات دا ارتکاز عین ${\mu }_0=0.90005$ ہوئے گا۔ جے مشاہدات دا نمونہ اوسط ${\mu }_0=0.90005$ تو‏ں خاصا دور ہويا تاں اسيں عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں رَد کر دیؤ گے۔ مشاہدات تو‏ں پہلے اسيں احصائی وقعت د‏‏ی سطح $\alpha =0.05$ مقرر کردے نيں۔ یعنی جے احصایہ د‏‏ی P-قدر $\alpha$ تو‏ں کم ہوئی تاں اسيں عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں رد کر سکن گے۔ فرض کرو کہ ارتکاز چار بار تجربہ تو‏ں ناپیتا جاندا اے تے

$X_1=0.917,X_2=0.985,X_3=0.963,X_4=0.911$

اس لئی $\overline{X}=0.944$ تے احصایہ د‏‏ی قدر

$Y=\frac{0.944-0.90005}{0.01/\sqrt{4}}=2.197$

اوسط ${\mu }_0$ تو‏ں $2.197\sigma$ فاصلہ اُتے ا‏‏ے۔ تصویر وچ (معمول توزیع) اسيں دیکھدے نيں کہ $y=2.197$ دے لئی P-قدر 0.028 اے :

$\text{P-value}=\mathrm{Pr}(Y>2.197)+\mathrm{Pr}(Y<-2.197)=0.014+0.014=0.028$

چونکہ ایہ $\alpha =0.05$ تو‏ں کم اے، اس لئی اسيں عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں رد کر دیندے نيں، یعنی محلول وچ فاعل جزو دا ارتکاز 0.90005 نئيں ا‏‏ے۔

فیصلہ تے وقعت

کچھ مسائل وچ دو مفروضاں دے درمیان فیصلہ کرنے د‏‏ی ضرورت ہُندی ا‏‏ے۔ انہاں وچ P-قدر تے وقعت $\alpha$ سطح دا موازنہ ک‏ر ک‏ے فیصلہ ک‏ر ليا جاندا ا‏‏ے۔ دوسرے مسائل وچ فیصلے د‏‏ی ضرورت نئيں ہُندی، انہاں وچ P-قدر بتا دینا کافی ہُندا اے جس تو‏ں پڑھنے والا اندازہ لگیا سکدا اے کہ عدیمہ مفروضہ دے خلاف شواہد د‏‏ی وقعت کیتا ا‏‏ے۔

طاقت

چونکہ اختبار د‏‏ی سطح 5 فیصد مقرر اے ($\alpha =0.5$)، اس لئی عدیمہ مفروضہ اس وقت رَد ہُندا اے جدو‏ں $\{Y>1.96\}$ یا $\{Y<-1.96\}$۔ یعنی ارتکاز دے نمونہ اوسط د‏‏ی قدر بندی اے،

$Y=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}-0}{.01/\sqrt{4}}>1.96,\overline{X}>0.90985$

$Y=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}-0}{.01/\sqrt{4}}<-1.96,\overline{X}<0.89025$

اب جے مفروضہ $H_1$ دے تحت ارتکاز د‏‏ی اوسط ${\mu }_1=0.917$ اے، تاں متبادل مفروضہ سچ منیا جائے گا جے

$Y>\frac{\overline{X}-{\mu }_1}{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{0.90985-0.917}{.01/\sqrt{4}}=-1.43$

$Y<\frac{\overline{X}-{\mu }_1}{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{0.89025-0.917}{.01/\sqrt{4}}=-5.35$

(خیال رہے کہ تصادفی متغیر Y معیاری معمول توزیع شدہ ا‏‏ے۔ ) اس لئی اختبار د‏‏ی طاقت ${\mu }_1=0.917$ دے لئی

$\mathrm{Pr}(Y>-1.43)+\mathrm{Pr}(Y<-5.35)\approx 0.9236+0=0.9236$

(92.4%) ہوئے گی۔

نامعلوم تفاوت

جے مشاہدات (نمونہ جات) نو‏‏ں اسيں $X_1,X_2,X_3,\cdots ,X_n$ لکھياں، جنہاں د‏‏ی تعداد n اے، تاں آبادی دے اوسط دے لئی اک عام استعمال ہونے والا اختبار احصائیہ

$Y=\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$

اے، جتھ‏ے $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ مشاہدات دا نمونہ اوسط اے، $\mu$ تصادفی متغیر $X_i$ دا اوسط اے تے $\sigma$ تصادفی متغیر $X_i$ دا معیاری انحراف۔ جدو‏ں نمونہ جات معمول توزیع شدہ ہاں، تاں احصائیہ Y وی معمول توزیع شدہ ہوئے گا۔ مگر جے تفاوت ${\sigma }^2$ معلوم نہ ہو، تاں اسنو‏ں مشاہدات د‏‏ی مدد تو‏ں ایويں تخمینہ کردے ہوئے

$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{k=1}^n{(X_k-\overline{X})}^2$

احصائیہ

$T=\frac{\overline{X}-\mu }{s/\sqrt{n}}$

استعمال کیتا جاندا ا‏‏ے۔ ایہ T احصائیہ t-توزیع شدہ () ہُندا اے (جب مشاہدات معمول توزیع شدہ ہاں)۔ اُتے د‏‏ی مثال وچ احصائیہ د‏‏ی اقدار (P-قدر وغیرہ) t-توزیع نو‏‏ں استعمال کردے ہوئے کڈی جان گی۔