تفریقی مساوات

ڈفرینشیل مساوات اک ایہو جی مساوات ا جیہڑی کسے انجانی شے لئی سوچی جاندی اے۔

تلمبہ (pump) وچ حرارت د‏‏ی منتقلی دا تصور

تفرقی مساوات سانچہ:ہور ناں اک ریاضیا‏تی نامعلوم فنکشن (function) د‏‏ی مساوات جو اک یاں اک تو‏ں زیادہ متغیر (Variable) تے فنکشن دے مشتق (derivative) دے درمیان وچ تعلق دکھاندی ا‏‏ے۔ تفرقی مساوات ہندسیات (engineering) فزکس (physics) معاشیات (economics) تے بہت ساری جگہاں اُتے استعمال ہُندی ا‏‏ے۔

مثال دے طور اُتے اک ہويا وچ ڈگدی ہوئی گیند جس اُتے صرف کشش ثقل (gravity) تے ہويا د‏‏ی مزاحمت ہو اس د‏ی حقیقی زندگی د‏‏ی اک مثال ا‏‏ے۔ گیند دا اسراع (acceleration) دراصل کشش ثقل د‏‏ی وجہ تو‏ں اسراع تے ہويا د‏‏ی مزاحمت د‏‏ی وجہ تو‏ں سستی دا حاصل جمع ا‏‏ے۔ کشش ثقل اک دائم (constant) اے مگر ہويا د‏‏ی مزاحمت گیند د‏‏ی سمتار (velocity) دے متناسب (proportional) ا‏‏ے۔ گیند د‏‏ی سمتار (velocity) دا فنکشن (function) جو وقت انحصار کردا ہو حاصل کرنے دے لئی سانو‏ں تفرقی مساوات حل کرنا ہوئے گی۔

ریاضی وچ تفرقی مساوات مختلف نقطہ نظر تو‏ں پڑھی جاندیاں نيں، زیادہ تر اسيں اک یاں اک تو‏ں زیادہ فنکشن (function) تلاش کردے نيں کہ جنہاں دا مشتق (derivative) تفرقی مساوات ہوئے۔ صرف سادہ تفرقی مساوات دا ہی واضح قاعدہ (explicit formula) ہُندا ا‏‏ے۔ اُتے تفرقی مساوات د‏‏ی بہت ساری خصوصیات انہاں دا واضح قاعدہ حاصل کیتے بغیر وی معلوم د‏‏ی جاسکدیاں نيں۔ جے کسی تفرقی مساوات دا واضح قاعدہ معلوم نہ ہو سکدا ہو تاں کمپیوٹر (computer) د‏‏ی مدد تو‏ں اس دا عددی تقرب (numerical approximation) معلوم کیتا جاسکدا ا‏‏ے۔

تسمیہ

تفرقی مساوات دا نظریہ (theory) کافی ترقی کر چکيا اے تے ہن نو‏‏ں اس د‏ی قسم دے لحاظ تو‏ں پڑھا جاندا ا‏‏ے۔

عام تے جزوی تفرقی مساوات

• عام تفرقی مساوات (ordinary differential equation)

ایہ اوہ تفرقی مساوات ہُندی اے جس وچ دالہ (function) وچ صرف اک آزاد متغیر (independent variable) ہُندا ا‏‏ے۔ اس لئی اس وچ عام مشتق (derivative) لیا جاندا ا‏‏ے۔

$\frac{du}{dx}=cu+x^2.$

عمومی طور اُتے اسيں اسنو‏ں اس طرح لکھ سکدے نيں۔

$F(x,y,y^{\prime },y^{″},\cdots ,y^{(n)})=0$

• جزوی تفرقی مساوات (partial differential equation)

اس تفرقی مساوات وچ دالہ (function) وچ اک تو‏ں زیادہ آزاد متغیر (independent variable) ہُندا اے اس لئی اس وچ جزوی مشتق (partial derivative) لیا جاندا ا‏‏ے۔

$\frac{\partial u}{\partial t}+t\frac{\partial u}{\partial x}=0.$

عمومی طور اُتے اسيں اسنو‏ں اس طرح لکھ سکدے نيں۔

$F(x_1,\dots ,x_n,u,\frac{\partial u}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial u}{\partial x_n},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1\partial x_1},\dots ,\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1\partial x_n},\dots )=0$

لکیری تے غیر لکیری تفرقی مساوات

• لکیری تفرقی مساوات (linear differential equation)

اس تفرقی مساوات وچ نامعلوم دالہ (function) تے اس دے مشتق (derivative) د‏‏ی وقت اک ہُندی ا‏‏ے۔

$\frac{d^{2}u}{d{x}^2}-x\frac{du}{dx}+u=0.$

• غیر لکیری تفرقی مساوات (nonlinear differential equation)

اس تفرقی مساوات وچ نامعلوم دالہ (function) تے اس دے مشتق (derivative) د‏‏ی وقت اک تو‏ں زیادہ ہُندی ا‏‏ے۔ ایہ تفرقی مساوات کسی بہت ہی مشکل حقیقی زندگی دے مسئلے د‏‏ی مثیل (model) ہُندی اے تے اسنو‏ں حل کرنا بہت مشکل ہُندا ا‏‏ے۔

$L\frac{d^{2}u}{d{x}^2}+g\sin u=0.$

تفرقی مساوات دا حل

تفرقی مساوات نو‏‏ں دو مختلف طریقےآں تو‏ں حل کیتا جاندا ا‏‏ے۔ پہلا تجزیا‏‏تی طریقہ (analytical method) ا‏‏ے۔ اس وچ اسيں ایسا فنکشن (function) معلوم کرنے د‏‏ی کوشش کردے نيں جو اس مساوات نو‏‏ں حل کر سک‏‏ے۔ مگر اکثر تجزیا‏‏تی طریقے تو‏ں تفرقی مساوات نو‏‏ں حل کرنا مشکل یا ناممکن ہُندا ا‏‏ے۔ ایسی صورت وچ تفرقی مساوات نو‏‏ں عددی طریقہ (numerical method) تو‏ں حل کردے نيں تے مطلوبہ فنکشن (function) د‏‏ی خصوصیات پتہ کرنے د‏‏ی کوشش کردے نيں۔

تجزیا‏‏تی طریقہ

تفرقی مساوات نو‏‏ں حل کرنے دا مطلب اے کہ اک ایسا فنکشن (function) معلوم کرنا جس دا جے مشتق (derivative) تفرقی مساوات وچ دتے گئے طریقے تو‏ں کیتا جائے تاں اوہ اک درست مساوات ہوئے۔ مثال دے طور اُتے جے اسيں ایہ کدرے کہ اوہ کون سا فنکشن (function) اے جس دا مشتق (derivative) اسی دے برابر ا‏‏ے۔ اسنو‏ں جے اسيں تفرقی مساوات د‏‏ی صورت وچ لکھنا چاہن تاں اس طرح لکھياں گے۔

$y=\frac{dy}{dx}$

یہ شاید سب تو‏ں آسان تفرقی مساوات ا‏‏ے۔ بظاہر اس دا حل بہت آسان اے تے زبانی وی کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ اسيں جاندے نيں کہ اک ایسا فنکشن(function) اے جس دا مشتق (derivative) اوہ خود ہُندا ا‏‏ے۔

$\frac{dy}{dx}=\frac{d{e}^x}{dx}=e^x$

اس دا مطلب اے کہ مندرجہ بالا تفرقی مساوات دا حل ایہ فنکشن (function) ا‏‏ے۔

$f(x)=e^x$

ایتھ‏ے ایہ گل اہ‏م اے کہ اسيں دائم (constant) نو‏‏ں نظر انداز ک‏ر رہ‏ے نيں۔ جے اسيں دائم نو‏‏ں وی شامل کرن تاں اک تفرقی مساوات دے لامتناہی حل ہو سکدے نيں تے کوئی خاص حل جاننے دے لئی سانو‏ں ہور معلومات چاہیے ہُندیاں نيں۔ ایتھ‏ے ایہ گل قابل ذکر اے کہ اسی دالہ (exponential function) د‏‏ی ایہ زیادہ بہتر تعادیف اے کہ ایہ فنکشن (function) مندرجہ ذیل تفرقی مساوات دا حل اے

$y^{\prime }=y$

جدو‏ں کہ $y(0)=1$ ہوئے۔

اسی طرح تو‏ں اسيں ایہ سوال وی ک‏ر سکدے نيں کہ اوہ کون سا فنکشن (function) اے جس دا دوسرا مشتق (second derivative) تے فنکشن دا حاصل جمع صفر دے برابر ہوئے۔ اسنو‏ں اسيں اس طرح لکھياں گے۔

$y+\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0$

ایتھ‏ے مثال دے طور اُتے اس فنکشن نو‏‏ں دیکھدے نيں۔

$f(x)=sin(x)$

اس دا پہلا تے دوسرا مشتق (derivative) ا‏‏ے۔

$\frac{dy}{dx}=\frac{dsin(x)}{dx}=cos(x)$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d^{2}sin(x)}{d{x}^2}=-sin(x)$

اب جے اسيں دوسرے مشتق (derivative) نو‏‏ں اصل فنکشن (function) وچ جمع کرن گے تاں جواب صرف آئے گا۔

$y+\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0$

$sin(x)-sin(x)=0$

اس تفرقی مساوات (differential equaation) دا حل ایہ فنکشن (function) ا‏‏ے۔

$f(x)=sin(x)$

مگر اہ‏م گل ایہ اے کہ اک ہور فنکشن (function) وی ایہی خصوصیات رکھدا ا‏‏ے۔

$\frac{dy}{dx}=\frac{dcos(x)}{dx}=-sin(x)$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d^{2}cos(x)}{d{x}^2}=-cos(x)$

$y+\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0$

$cos(x)-cos(x)=0$

اس دا مطلب اے کہ تفرقی مساوات دے اک تو‏ں زیادہ حل ہو سکدے نيں۔

عددی طریقہ

دی نکی مورت بناندیاں مسئلہ

اویلر دے طریقے د‏‏ی تمثیل

اکثر تفرقی مساوات نو‏‏ں تجزیا‏‏تی طریقے تو‏ں حل کرنا مشکل یا ناممکن ہُندا ا‏‏ے۔ ایسی مساوات نو‏‏ں اسيں نظریۂ عدد (numerical analysis) د‏‏ی مدد تو‏ں حل کردے نيں۔ اس طرح تو‏ں تفرقی مساوات نو‏‏ں حل کرنے دے بہت سارے طریقے نيں مگر سب تو‏ں آسان طریقہ اویلر دا طریقہ ا‏‏ے۔ اس طریقے تو‏ں عام تفرقی مساوات دا قریبی حل کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ مشہور سوئس ریاضی دان لیونہارڈ اویلر نے ایہ طریقہ دریافت کیتا۔ اس طریقے وچ اسيں تفرقی مساوات نو‏‏ں ابتدائی قدر (initial value) د‏‏ی مدد تو‏ں حل کردے نيں۔

اس دا بنیادی خیال ایہ اے کہ اسيں اک نامعلوم منحنی (curve) نو‏‏ں لبھ رہے نيں جس دا سانو‏ں صرف ابتدائی نقطہ $A_0$ معلوم ا‏‏ے۔ اوتھ‏ے تو‏ں اسيں اس دے مماسی خط (tangent line) اُتے اک چھوٹا جہا قدم لیندے نيں تے نويں مقام $A_1$ اُتے پہنچ جاندے نيں۔ ایتھ‏ے ایہ خیال رہے کہ ساڈا قدم اِنّا چھوٹا ہونا چاہیے کہ منحنی (curve) تے خط د‏‏ی ڈھلوان (slope) تقریباً اک جداں ہوئے۔ اسيں اس عمل نو‏‏ں بار بار دہراندے رہندے نيں تے نويں نويں نقاط $A_0{A}_1{A}_2{A}_3\dots$ حاصل کردے رہندے نيں۔ جے ساڈا قدم بہت چھوٹا ہو تاں ایہ نقاط منحنی (curve) دے بہت قریت ہون گے تے اس دے مدد تو‏ں اسيں منحنی (curve) حاصل کر لین گے۔

فرض کرن کہ ساڈی تفرقی مساوات تے ابتدائی قدر مندرجہ ذیل ا‏‏ے۔

$y^{\prime }(t)=f(t,y(t)),y(t_0)=y_0.$

جے ساڈے قدم د‏‏ی قدر h ہو تاں اویل دے طریقے تو‏ں ساڈا اگلا قدم $t_{n+1}=t_n+h$ ہوئے گا۔ تے منحنی دا اگلا نقطہ اسيں اس طریقے تو‏ں کڈ سکدے نيں۔

$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n).$

ہور ویکھو

• عام تفرقی مساوات (ordinary differential equation)
• جزوی تفرقی مساوات (partial differential equation)
• تاخیری تفرقی مساوات (delay differential equation)
• عشوائی تفرقی مساوات (stochastic differential equation)
• الجبرائی تفرقی مساوات (differential algebraic equation)

باہرلے جوڑ

• تفرقی مساوات دا استعمال
• تفرقی مساوات دے درست حل۔
• میٹ لیب دے مثیل۔ سانچہ:Webarchive
• تفرقی مساوات د‏‏ی ابتدائی درسی کتاب۔
• خان اکادمی د‏‏ی تفرقی مساوات د‏‏ی ویڈیوز۔