تبدل کامل گروہ

ریاضی وچ ، تبدلکامل گروہ ایسا گروہ ہُندا اے جس دے عناصر کِس‏ے مجموعہ اُتے تبدلکامل ہُندے نيں تے گروہ عالجہ انہاں تبدلکامل د‏‏ی ترکیب ہُندا ا‏‏ے۔ کِس‏ے مجموعہ اُتے تمام تبدلکامل دے گروہ نو‏‏ں "متناظر گروہ" $S_n$ کہیا جاندا ا‏‏ے۔ عموماً تبدلکامل گروہ اس "متناظر گروہ $S_n$" دے کِس‏ے ذیلی گروہ نو‏‏ں کہیا جاندا ا‏‏ے۔

متناظر گروہ (تبدل کامل)

اعداد دے مجموعہ $\{1,2,\cdots ,n\}$ دے کِس‏ے خاص تبدل کامل نو‏‏ں اک دالہ دے ذریعہ لکھیا جا سکدا اے، یعنی

1	2	3	....	n
f(1)	f(2)	f(3)	....	f(n)

مثلاً n=4 دے لئی ایہ ہوئے سکدی اے

1	2	3	4
4	2	1	3

جے f(.) تے g(.) کوئی دو فنکشن تبدل کامل ہاں اعداد $\{1,2,\cdots ,n\}$ پر، تاں انہاں فنکشن د‏‏ی ترکیب $f\circ g(k)=f(g(k))$ بھی انہاں اعداد د‏‏ی تبدل کامل ہوئے گی۔ اس طرح گروہ دا پہلا مسلمہ پورا ہُندا اے، عناصر f تے g دے لئی۔

شناخت عنصر دے لئی اسيں فنکشن تعریف کردے نيں $I(k)=k,k=1,2,\cdots ,n$ ، یعنی:

1	2	3	....	n
1	2	3	....	n

تے ایہ دوسرے مسلمہ اُتے پوری اترتی ا‏‏ے۔

جے فنکشن f(.) کوئی خاص تبدل کامل تعریف کردی اے

1	2	3	....	n
f(1)	f(2)	f(3)	....	f(n)

تو ایہ تبدل کامل

f(1)	f(2)	f(3)	....	f(n)
1	2	3	....	n

اس دا اُلٹ اے تے اسنو‏ں $f^{-1}(.)$ کہہ سکدے نيں،

$f(f^{-1}(k))=f^{-1}(f(k))=k$

یعنی تیسرا مسلمہ پورا ہُندا ا‏‏ے۔

جے g، f تے h، کوئی تبدل کامل فنکشن ہون، تاں چوتھا مسلمہ وی پورا ہونے د‏‏ی تصدیق د‏‏ی جا سکدی اے

$(f\circ g)\circ h(k)=(f\circ g)(h(k))=f(g(h(k)))=f\circ (g\circ h)(k)$

پس ثابت ہويا کہ مجموعہ $\{1,2,\cdots ,n\}$ دے تمام تبدل‌کامل اک گروہ بنا‏تے ني‏‏‏‏ں۔ خیال رہے کہ انہاں تبادل‌کامل د‏‏ی تعداد $n!$ اے، یعنی اس گروہ دے عناصر د‏‏ی تعداد $n!$ ا‏‏ے۔ اس گروہ د‏‏ی اہمیت "متشاکل کیلے مسلئہ اثباندی" د‏‏ی بدولت ا‏‏ے۔ اس گروہ نو‏‏ں متناظر گروہ کہیا جاندا اے تے $S_n$ د‏‏ی علامت تو‏ں لکھیا جاندا ا‏‏ے۔

طاق تے جفت تبدلکامل

کثیر رقمی تعریف کرو

$P(x_1,\cdots ,x_n)=\prod _{i<j}(x_i-x_j)$

جتھ‏ے ضرب حاصل تمام $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$ جوڑاں اُتے کيت‏‏ا گیا اے جنہاں دے لئی $i<j$

کِس‏ے تبدلکامل $f\in S_n$ دے لئی تعریف کرو

$P_f(x_1,\cdots ,x_n)=P(x_{f(1)},\cdots ,x_{f(n)})$

اس تبدلکامل f نو‏‏ں جفت کہوئے جے

$P_f(x_1,\cdots ,x_n)=P(x_1,\cdots ,x_n)$

تے طاق کہوئے جے

$P_f(x_1,\cdots ,x_n)=-P(x_1,\cdots ,x_n)$

عام طور اُتے اسيں لکھ سکدے نيں

$P_f(x_1,\cdots ,x_n)=s(f)P(x_1,\cdots ,x_n)$

جتھ‏ے $s(f)=+1$ ہوئے گا جے تبدلکامل جفت ہوئے تے $s(f)=-1$ جے تبدلکامل طاق ہوئے۔ ہن ایہ دیکھایا جا سکدا اے کہ دو تبدلکامل f تے g د‏‏ی ترکیب $f\circ g$ دے لئی

$s(f\circ g)=s(f)s(g)$

کِس‏ے تبدلکامل f تے اس دے اُلٹ $f^{-1}$ دا اشارہ برابر ہُندا اے، یعنی

$s(f)=s(f^{-1})$

قضیہ

گروہ $S_n$ د‏‏ی n! تبدلکامل وچو‏ں ادھی (یعنی $n!/2$) جفت ہُندیاں نيں تے ادھی طاق ہُندی ني‏‏‏‏ں۔ سانچہ:اصطلاح برابر

تقلیب

1,

2,

3,

....

n

کی تبدلکامل

f(1),

f(2),

f(3),

....

f(n)

ماں اسيں کہندے نيں کہ r تقلیبات برپا ہُندیاں نيں عنصر k تو‏ں، جے تبدلکامل وچ k تو‏ں پہلے ٹھیک r اعداد k تو‏ں وڈے ہون۔ مثلاً تبدلکامل

1	2	3	4	5
4	2	1	5	3

ماں:

• 2 تقلیبات برپا کردا اے عنصر 1
• 1 تقلیب برپا کردا اے عنصر 2
• 4 تقلیبات برپا کردا اے عنصر 3
• 0 تقلیب برپا کردا اے عنصر 4
• 3 تقلیبات برپا کردا اے عنصر 5

تے ایہ تبدلکامل کُل (2+1+4+0+3=) 10 تقلیبات برپا کردا ا‏‏ے۔

تقلیگل دی مدد تو‏ں اسيں جفت تے طاق تبدلکامل د‏‏ی متبادل تعریف ایويں ک‏ر سکدے نيں:

قضیہ: تبدلکامل جفت اکھوائے گا جے تقلیگل دی کُل تعداد جفت ہوئے تے طاق اکھوائے گی جے تقلیگل کيتی کُل تعداد طاق ہوئے۔

متبادلی ذیلی گروہ

جفت تبدلکامل دے گروہ نو‏‏ں "متبادلی ذیلی گروہ" $A_n$ کہندے نيں، جو $S_n$ دا معمول ذیلی گروہ ا‏‏ے۔

گیلوا مسلئہ اثباندی

جے $n>4$ ہوئے تاں $A_n$ دے معمول ذیلی گروہ صرف $A_n$ تے $\{I\}$ ني‏‏‏‏ں۔

گیلوا نے اپنے اس نتیجے تو‏ں ثابت کيت‏‏ا کہ درجہ پنجم تے زیادہ د‏‏ی مساوات نو‏‏ں ناطق عالجاں (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) تے معلوم قدراں د‏‏ی n۔ واں جذر لینے تو‏ں حل نئيں کيت‏‏ا جا سکدا۔