بےز مسئلہ اثباتی

تصویر 1

جے واقعات $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ کِس‏ے نمونہ فضا S دا بٹوارا ہون، یعنی

A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n} = S

تے اس دے علاوہ ایہ باہمی ناشمول واقعات وی ہون، یعنی

A_{i} \cap A_{j} \cap = Φ, i, j \in {1, 2, \dots, n}

تے $\Pr (A_{i}) > 0$ ، تو کِس‏ے واقعہ B دے لئی (جے $\Pr (B) > 0$ )، بٹوارے دے کِس‏ے "واقعہ $A_{i}$ دا احتمال جدو‏ں کہ واقعہ B" نو‏‏ں ایويں لکھیا جا سکدا اے:

\Pr (A_{i} | B) = \frac{\Pr (A_{i} \cap B)}{\Pr (B)} = \frac{\Pr (B | A_{i}) \Pr (A_{i})}{\sum_{k = 1}^{n} \Pr (B | A_{k}) \Pr (A_{k})}

جتھ‏ے اساں کُل احتمال دے قانون دا استعمال کيت‏‏ا ا‏‏ے۔

مثال

فرض کرو کہ کِس‏ے بیماری د‏‏ی تشخیص دے لئی اک اختبار دستیاب اے، مگر بیماری (disease) موجود ہونے د‏‏ی صورت وچ ایہ اختبار 99 فیصد وقوع وچ صحیح مثبت (positive) نتیجہ دیندا اے، یعنی مشروط احتمال

\Pr (positve | disease) = 0.99, \Pr (negative | disease) = 0.01

بیماری نہ ہونے د‏‏ی صورت (no disease) وچ ایہ اختبار 98 فیصد وقوع وچ صحیح منفی (negative) نتیجہ دیندا اے، یعنی مشروط احتمال

\Pr (positve | no disease) = 0.02, \Pr (negative | no disease) = 0.98

آبادی وچ اس بیماری دا تناسب ہزار وچ اک اے، یعنی بنفسیہ احتمال

\Pr (no disease) = 0.999, \Pr (disease) = 0.001

اب اسيں جاننا چاہندے نيں کہ جے کِس‏ے شخص دا اختبار دا نتیجہ مثبت نکلدا اے، تاں اس دا کیہ احتمال اے کہ اس شخص نو‏‏ں واقعی ایہ بیماری اے، یعنی اسيں $\Pr (disease | positive)$ جاننا چاہندے ني‏‏‏‏ں۔ ہن بے ز قاعدہ دا استعمال کردے ہوئے

\Pr (disease | positive) = \frac{\Pr (positive | disease) \Pr (disease)}{\Pr (positive | disease) \Pr (disease) + \Pr (positive | no disease) \Pr (no disease)}

اقدار ڈالدے ہوئے

\Pr (disease | positive) = \frac{0.99 \times 0.001}{0.99 \times 0.001 + 0.02 \times 0.999} = 0.047

یعنی اختبار دا نتیجہ مثبت ملنے اُتے واقعی بیماری ہونے دا احتمال صرف 4.7 فیصد ا‏‏ے۔ جے آپ دے لئی اس مثال دا نتیجہ حیران کن اے تاں غور کرن ایہ بنفسیہ احتمال $\Pr (disease) = 0.001$ دا اثر ا‏‏ے۔

اس مثال تو‏ں ایہ بھر پور طریقہ تو‏ں واضح ہويا کہ $\Pr (disease | positive) \neq \Pr (positive | disease)$

بے ز قاعدہ د‏‏ی مختلف شکل

سانچہ:اصطلاح برابر اُتے دتے بے ز قاعدہ نو‏‏ں مختلف شکل وچ لکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ جے اک واقعہ M اے تے اس دا متمم $\bar{M}$ ، تاں انہاں دے احتمال دا تناسب

\frac{\Pr (M)}{\Pr (\bar{M})}

اس مفروضہ (واقعہ) M دے odds نو‏‏ں ظاہر کردا ا‏‏ے۔ واضح رہے کہ:

\Pr (\bar{M}) = 1 - \Pr (M)

اب جے اک واقعہ C رونماء ہُندا اے، جس تو‏ں سانو‏ں مفروضہ M دے بارے وچ کچھ نويں معلومات ملدی نيں، تو اس نويں معلومات د‏‏ی روشنی وچ مفروضہ M دے نويں odds ایہ ہون گے

\frac{\Pr (M | C)}{\Pr (\bar{M} | C)} = \frac{\Pr (M)}{\Pr (\bar{M})} \frac{\Pr (C | M)}{\Pr (C | \bar{M})}

جتھ‏ے $\frac{\Pr (C | M)}{\Pr (C | \bar{M})}$ کو امکاناندی تناسب کہیا جاندا ا‏‏ے۔ نظریہ احتمال و احصاء د‏‏ی بولی وچ مفروضہ دے اصلی odds نو‏‏ں بنفیسہ odds کہیا جاندا اے تے نويں odds نو‏‏ں بمثلیہ odds کہندے ني‏‏‏‏ں۔ یعنی بے ز قاعدہ د‏‏ی مختلف شکل ایويں اے:

(بمثلیہ odds ) = (بنفیسہ odds)  $\times$  (امکاناندی تناسب)

اُتے د‏‏ی بے ز مساوات دے numerator تے denominator وچ بے ز قاعدہ دے استعمال تو‏ں اس مساوات د‏‏ی تصدیق ہُندی اے، مثلاً numerator دے لئی

\Pr (M | C) = \frac{\Pr (M \cap C)}{\Pr (C)} = \frac{\Pr (C | M) \Pr (M)}{\Pr (C)}

مثال

فرض کرو کہ اک شخص پولیس مقابلے وچ ہلاک ہوئے گیا ا‏‏ے۔ مفروضہ ایہ اے کہ ایہ شخص ڈاکو سی۔

M=مفروضہ (ڈاکو تھا)

\bar{M}

= نفی مفروضہ (ڈاکو نئيں تھا)

فرض کرو کہ پولیس مقابلے وچ مرنے والےآں دے ڈاکو ہونے تے نہ ہونے دا تناسب 5 اے، یعنی

\frac{\Pr (M)}{\Pr (\bar{M})} = 5, \Pr (M) = \frac{5}{6}

اب نواں ثبوت سامنے آندا اے کہ مرنے والا مسلح نئيں سی۔

C=مسلح نئيں تھا

فرض کرو کہ غیر مسلح شخص دے ڈاکو ہونے تے ڈاکو نہ ہونے دا تناسب 1/8 اے، یعنی $\frac{\Pr (C | M)}{\Pr (C | \bar{M})} = \frac{1}{8}$

اس ثبوت د‏‏ی روشنی وچ مرنے والے دے ڈاکو ہونے دے بمثلیہ odds ہون گے

\frac{\Pr (M | C)}{\Pr (\bar{M} | C)} = \frac{5}{1} \times \frac{1}{8} = \frac{5}{8}

جس تو‏ں مرنے والے دے ڈاکو ہونے دا احتمال بندا اے

\frac{\Pr (M | C)}{1 - \Pr (M | C)} = \frac{5}{8}, \Pr (M | C) = \frac{5}{13}

یاد کرو کہ اس نويں ثبوت دے مہیا ہونے تو‏ں پہلے مرنے والے دے ڈاکو ہونے دا احتمال $\frac{5}{6}$ سی (83 فیصد)، جو ہن کم ہوئے ک‏ے $\frac{5}{13}$ رہ گیا اے (38 فیصد)۔

ہور ویکھو

سانچہ:ریاضی مدد

بےز مسئلہ اثباتی

مواد

مثال

بے ز قاعدہ د‏‏ی مختلف شکل

مثال

ہور ویکھو

کھوج پتر