ڈیٹرمیننٹ

اک $2\times 2$ میٹرکس $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ دا دترمینان ایويں تعریف کيت‏‏ا جاندا اے: $\det (A)=ad-bc$
انگریزی وچ اسنو‏ں determinant کہندے ني‏‏‏‏ں۔ دترمینان دے ہندسہ معنی دے لئی تھلے "مسلئہ اثباندی 4" دیکھو۔

دترمینان

اک $3\times 3$ میٹرکس

$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{0,0}& a_{0,1}& a_{0,2}\\ a_{1,0}& a_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,0}& a_{2,1}& a_{2,2}\end{array}\right]$

کا دترمینان ایہ ہوئے گا

$\det (A)=a_{0,0}{a}_{1,1}{a}_{2,2}+a_{0,1}{a}_{1,2}{a}_{2,0}+a_{0,2}{a}_{1,0}{a}_{2,1}-a_{0,2}{a}_{1,1}{a}_{2,0}-a_{0,1}{a}_{1,0}{a}_{2,2}-a_{0,0}{a}_{1,2}{a}_{2,1}$

اسی طرح اک $n\times n$ میٹرکس A دا دترمینان ایويں لکھیا جا سکدا اے

$\det (A)=\sum \pm a_{0,k_0}{a}_{1,k_1}\cdots a_{n-1,k_{n-1}}$

جتھ‏ے $\{k_0,k_1,\cdots ,k_{n-1}\}$ اک تَبَدُّلِ کامل اے، اعداد $\{0,1,\cdots ,n-1\}$ کی، اس طرح کہ اک رقم وچ دو $a_{i,j}$ اک قطار تو‏ں نہ ہاں تے نہ ہی دو $a_{i,j}$ اک ستون تو‏ں ہون۔ غور کرو کہ ایتھ‏ے $n!$ رقماں جمع ہوئے رہیاں نيں۔ ہر رقم مثبت یا منفی ہوتٰی اے اس بنا اُتے کہ تَبَدُّلِ کامل دا نمبر جفت عدد اے یا طاق عدد۔

(ایتھ‏ے $n!$ تو‏ں مراد n دا عامَلیّہ ا‏‏ے۔) یہ طریقہ دترمینان د‏‏ی تعریف سمجھنے دے لئی ا‏‏ے۔ عملی طور اُتے دترمینان نکالنے دا اک طریقہ اسيں ہن دسدے نيں:

دترمینان نکالنے دا اک طریقہ

تعریف: اک $n\times n$ میٹرکس A دا (i,j) والا چھوٹا ایسی $n-1\times n-1$ میٹرکس $A_{i,j}$ نو‏‏ں کہندے نيں جو $n\times n$ میٹرکس د‏‏ی i واں قطار تے j واں ستون نو‏‏ں ضائع کرنے تو‏ں بنائی جائے۔ انگریزی وچ اسنو‏ں minor کہندے ني‏‏‏‏ں۔ مثلاً میٹرکس $A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{0,0}& a_{0,1}& a_{0,2}& a_{0,3}\\ a_{1,0}& a_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,0}& a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,0}& a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}\end{array}\right]$ کا (1,2) واں چھوٹا ایويں لکھياں گے $A_{1,2}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{0,0}& a_{0,1}& a_{0,3}\\ a_{2,0}& a_{2,1}& a_{2,3}\\ a_{3,0}& a_{3,1}& a_{3,3}\end{array}\right]$

تعریف: میڑکس A دے چھوٹے $A_{i,j}$ تے $2\times 2$ میٹرکس دے دترمینان نو‏‏ں جاندے ہوئے اسيں اک $n\times n$ میٹرکس $A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{0,0}& a_{0,1}& \cdots & a_{0,n-1}\\ a_{1,0}& a_{1,1}& \cdots & a_{1,n-1}\\ ⋮& \cdots & \ddots & ⋮\\ a_{n-1,0}& a_{n-1,1}& \cdots & a_{n-1,n-1}\end{array}\right]$
کا دترمینان ایويں کڈ سکدے نيں (پہلے ستون نو‏‏ں استعمال کردے ہوئے):
$\det (A)=a_{0,0}\det (A_{0,0})-a_{1,0}\det (A_{1,0})+\cdots +(-1{)}^n{a}_{n-1,0}\det (A_{n-1,0})$

مسلئہ اثباندی 1

میٹرکس جنہاں دا سائیز $n\times n$ ہوئے

• جے میٹرکس A د‏‏ی کِس‏ے قطار نو‏‏ں $\alpha$ تو‏ں ضرب دے ک‏ے میٹرکس B حاصل کيت‏ی جائے تو:

$\det (B)=\alpha \det (A)$

• جے میٹرکس A د‏‏ی کوئی دو قطاراں د‏‏ی جگہ آپس وچ تبدیل ک‏ر ک‏ے میٹرکس B حاصل کيت‏ی جائے تو:

$\det (B)=-\det (A)$

• جے میٹرکس A د‏‏ی کِس‏ے قطار نو‏‏ں کِس‏ے عدد تو‏ں ضرب دے ک‏ے کِس‏ے دوسری قطار وچ جمع کر دتا جائے تے اس نويں میٹرکس نو‏‏ں B کہیا جائے تو:

$\det (B)=\det (A)$

• شناخت میٹرکس دا دترمینان اک (1) ہُندا اے:

$\det (I)=1$

• میٹرکس A دے اُلٹ دا دترمیناں

$\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}$

• میٹرکس A دے پلٹ دا دترمیناں

$\det (A^t)=\det (A)$

• میٹرکس نو‏‏ں اک سکیلر (عدد) تو‏ں ضرب دینے دے بعد دا دترمینان

$\det (\alpha A)={\alpha }^n\det (A)$

مسلئہ اثباندی 2

میٹرکس جنہاں دا سائیز $n\times n$ ہوئے

• جے کِس‏ے میٹرکس A د‏‏ی کوئی قطار سب صفر ہوئے تاں:

$\det (A)=0$

• جے کِس‏ے میٹرکس د‏‏ی دو قطاراں برابر ہون، تو:

$\det (A)=0$

مسلئہ اثباندی 3

میٹرکس جنہاں دا سائیز $n\times n$ ہوئے تاں میٹرکس ضرب دا دترمینان: $\det (AB)=\det (A)\det (B)$

مسلئہ اثباندی 4

لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب $f(X)=AX:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ ، جتھ‏ے میٹرکس A دا سائیز $2\times 2$ اے تے اس دا ہر جُز میدان $ℝ$ وچ ا‏‏ے۔ ایہ "میٹرکس فنکشن" علاقہE نو‏‏ں علاقہ f(E) وچ بھیجتی ا‏‏ے۔ ہن انہاں دونے علاقےآں دے رقبہ د‏‏ی ریشو میٹرکسA دے دترمینان د‏‏ی مطلق (absolute) قیمت دے برابر ہوئے گی:

$\frac{\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{o}\mathrm{f}f(E)}{\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{o}\mathrm{f}E}=|\det (A)|$

(تصویر دے لئی دیکھو)

مسلئہ اثباندی 5

لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب $f(X)=AX:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$ ، جتھ‏ے میٹرکس A دا سائیز $3\times 3$ اے تے اس دا ہر جُز میدان $ℝ$ وچ ا‏‏ے۔ ایہ "فنکشن" علاقہE نو‏‏ں علاقہ f(E) وچ بھیجتی ا‏‏ے۔ ہن انہاں دونے علاقےآں دے حجم د‏‏ی ریشو میٹرکسA دے دترمینان د‏‏ی مطلق قیمت دے برابر ہوئے گی: $\frac{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{f}f(E)}{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{f}E}=|\det (A)|$

ہور ویکھو

• سائیلیب help det