ویکٹر سپیس

سانچہ:اصطلاح برابر ایداں دے عناصر دا مجموعہ جتھ‏ے جمع/تفریق دے عمل ممکن ہون تے عناصر نو‏‏ں چھوٹا وڈا کيتا جا سکدا ہو، سمتیہ مکان کہلاندا ا‏‏ے۔ ہن اسيں مکمل تعریف دیندے نيں۔ جے کسی مجموعہ V دے عناصر X، Y، Z، وغیرہ مندرجہ ذیل قواعد اُتے پورے اتراں، تاں ایداں دے مجموعہ نو‏‏ں سمتیہ مکان کدرے گے تے عناصر نو‏‏ں سمتیہ:

قواعد

• جمع

1. X+Y   مجموعہ V دا عنصر ہو
2. X+Y = Y+X   (مبدلی)
3. (X+Y) + Z = X + (Y+Z)   (مشارکی)
4. X+0=X   ( صفر شناخت عنصر (0) د‏‏ی موجودگی)
5. X+(-X)=0   (جمعیاندی اُلٹ، تفریق ممکن)

اعداد a، b، وغیرہ دے لئی

• اعداد تو‏ں ضرب

1. aX   مجموعہ V دا عنصر ہو
2. (ab)X=a(bX)   (مشارکی)
3. (a+b)X=aX+bX   (توزیعی )
4. a(X+Y)=aX+aY   (توزیعی)
5. 1 X=X   ضربی شناخت عنصر (1) د‏‏ی موجودگی

انگریزی وچ سمتیہ نو‏‏ں vector تے سمتیہ مکان نو‏‏ں vector spaceکہندے نيں۔

مثال ${ℝ}^2$

اک مُسْتَوی (Plane)ماں کسی وی نکتہ نو‏‏ں دو پیمائشاں دے ذریعہ ڈھونڈا جا سکدا اے، اک ابتدا (origin) مقرر ک‏ر ک‏ے، افقی پیمائیش نو‏‏ں عموماً x لکھیا جاندا اے تے عمودی پیمائیش نو‏‏ں y۔ اس طرح اس نکتہ نو‏‏ں عموماً (x, y) لکھیا جاندا ا‏‏ے۔ انہاں دو اعداد (جو میدان $ℝ$ وچ نيں) نو‏‏ں اک $2\times 1$ میٹرکس دے بطور یاں $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ لکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ یعنی پلین دے کسی وی نکتہ نو‏‏ں بطور سمتیہ یاں $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ لکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ ہن چونکہ ایہ سمتیہ اک میٹرکس نيں، اس لئی میٹرکس حساب دے قائدے استعمال کردے ہوئے سمتیہ مکان د‏‏ی تمام لوازمات پوری ہُندیاں نيں۔ اس لئی ${ℝ}^2$ دے نکتے اک سمتیہ مکان بنا‏تے نيں۔ ${ℝ}^2$ وچ سمتیہ د‏‏ی قطبی صورت دے لئی دیکھو۔ سمتیہ $U=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ کو قطبی صورت وچ مطلق قیمت $r={(U^{t}U)}^{1/2}=\sqrt{x^2+y^2}$ اور زاویہ $\theta ={\tan }^{-1}\frac{y}{x}$ سے دتا جاندا اے تے سمتیہ نو‏‏ں تصویری صورت وچ ابتدا $(0,0)$ تو‏ں نکتہ $(x,y)$ تک اک تیر دے نشان تو‏ں دکھایا جاندا اے، جس د‏‏ی لمبائی r تے سجے افقی دھُرا (x-axis) تو‏ں زاویہ $\theta$ ہُندا ا‏‏ے۔ غور کرو کہ قطبی صورت وچ وی نکتہ نو‏‏ں دو اعداد تو‏ں لکھیا جاندا اے (مطلق قیمت تے زاویہ) مگر انہاں دو مقداراں نو‏‏ں بطور میٹرکس نئيں لکھیا جا سکدا (یعنی میٹرکس حساب دے قاعدے لاگو نئيں کیتے جا سکدے)۔

شکل 2 وچ نکتہ (x=a, y=b) نو‏‏ں سمتیہ U تو‏ں دکھایا اے، جتھ‏ے ابتدا (x=0, y=0) اُتے ا‏‏ے۔ ايس‏ے طرح شکل 2 دے نکات نو‏‏ں سمتیہ دے روپ وچ (بطور میٹرکس) ایويں لکھدے نيں: $U=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right],V=\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right],W=\left[\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right]$

شکل 2	شکل 3
فائل:Simtia vector add.png	فائل:Simtia translated.png

اب سمتیہ U تو‏ں سمتیہ V د‏‏ی طرف ہٹاؤ سمتیہ R تو‏ں دکھایا گیا ا‏‏ے۔ اسنو‏ں میٹرکس ریاضی دے قواعد دے مطابق ایويں لکھیا جا سکدا اے $R=V-U=\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}c-a\\ d-b\end{array}\right]$ غور کرو کہ سمتیہ R د‏‏ی سمت نکتہ (x=a, y=b) تو‏ں نکتہ (x=c, y=d) سیدھی لکیر د‏‏ی طرف اے تے سمتیہ د‏‏ی لمبائی (مطلق قیمت) انہاں نکات دے درمیان وچ سیدھی لکیر وچ فاصلہ ا‏‏ے۔ اس لئی اس سمتیہ نو‏‏ں انہاں نکات دے درمیان وچ ہٹاؤ کہیا جاندا ا‏‏ے۔ ایہ وی دیکھو کہ سمتیہ R چونکہ دو نکتاں دے درمیاں اے، اس لئی جے ابتدا نو‏‏ں کسی تے نکتہ اُتے لے جایا جائے، تاں اس دا اس سمتیہ R اُتے کوئی اثر نئيں پئے گا۔ اس لئی اکثر کہیا جاندا اے کہ سمتیہ ایسی شے اے جو اک مطلق قیمت (magnitude) تے مکان وچ اک رُخ (direction) تو‏ں تعریف ہوئے جاندا ا‏‏ے۔ اسی طرح نکتہ (x=c, y=d) تو‏ں نکتہ (x=e, y=f) دے درمیان وچ ہٹاؤ سمتیہ G اے، جو سمتیہ V نو‏‏ں سمتیہ W وچو‏ں تفریق ک‏ر ک‏ے حاصل ہُندا ا‏‏ے۔ $G=W-V=\left[\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}e-c\\ f-d\end{array}\right]$ فرض کرو کہ اسيں نکتہ (x=a, y=b) تو‏ں نکتہ (x=c, y=d) ہٹتے نيں (سمتیہ R ) تے فیر نکتہ (x=e, y=f) د‏‏ی طرف ہٹ جاندے نيں (سمتیہ G )۔ ہن ساڈا کُل ہٹاؤ سمتیہ B اے جو سمتیہ R تے سمیتہ G د‏‏ی جمع ا‏‏ے۔ $B=R+G=\left[\begin{array}{c}c-a\\ d-b\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}e-c\\ f-d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}e-a\\ f-b\end{array}\right]=W-U$ غور کرو کہ سمتیہ B صرف اپنے شروع تے آخر دے نکات تو‏ں نکل آندا اے (سفر د‏‏ی ابتدا تے آخری منزل تے درمیانی منزل تو‏ں آزاد اے )۔

اب چونکہ سمتیہ اپنی مطلق قیمت تے رُخ تو‏ں تعریف ہوئے جاندا اے، اس لئی کسی سمتیہ نو‏‏ں اس دے متوازی گھسیٹا جا سکدا ا‏‏ے۔ شکل 3 وچ اساں سمتیہ R، B، W، نو‏‏ں گھسیٹ کر انہاں د‏‏ی دُم ابتدا اُتے رکھ د‏تی نيں۔

سمتیہ تفریق: جیومیٹری

اب جیومیٹری دے نقطہ نظر تو‏ں سمتیہ تفریق اُتے نظر ڈالدے نيں۔ سمتیہ B وچو‏ں R نو‏‏ں تفریق ک‏ر ک‏ے سمتیہ G ملدا اے، G=B-R۔ اس دا طریقہ ایويں ہويا کہ B تے R د‏‏ی دُماں ملیا دو تے R دے سر تو‏ں B دے سر تک سمتیہ فرق G ا‏‏ے۔

سمتیہ جمع: جیومیٹری

اسی طرح جیومیٹری دے نقطہ نگاہ تو‏ں سمتیہ جمع اُتے نظر ڈالدے نيں۔ سمتیہ R تے G نو‏‏ں جمع ک‏ر ک‏ے سمتیہ B ملدا اے، B=R+G۔ اس دا طریقہ ایويں ہويا کہ سمتیہ G د‏‏ی دُم سمتیہ R دے سر دے نال جوڑو تے فیر R د‏‏ی دُم تو‏ں G دے سر تک سمتیہ جمع B ا‏‏ے۔

مثال ${ℝ}^n$

بعینہ ${ℝ}^n$ مکان وچ نکتاں نو‏‏ں بطور $n\times 1$ میٹرکس لکھیا جا سکدا اے تے ایہ نکتے اک سمتیہ مکان بنا‏تے نيں۔ (یاد رہے کہ بعض اوقات نکات نو‏‏ں بجائے $n\times 1$ میٹرکس دے اک $1\times n$ میٹرکس دے بطور وی لکھیا جاندا ا‏‏ے۔) اک سمتیہ نو‏‏ں ایويں لکھیا جائے گا: $X=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ ⋮\\ x_{n-1}\end{array}\right],x_k\in ℝ$

مثال دے طور اُتے تن رُخی مستطیل مکان وچ کِسے جسم دا مقام تن پیمائیشاں z، y ،x، تو‏ں دتا جا سکدا اے تے اس طرح اس جسم د‏‏ی سمتار وی تن اعداد تو‏ں دتی جا سکدی ا‏‏ے۔ اس طرح وقت k اُتے جسم دے مقام تے سمتار اُتے مبنی 6رُخی سمتیہ ایويں لکھیا جا سکدا اے: $X_k=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ v_x\\ v_y\\ v_z\end{array}\right]$

مدیدی سمتیہ

تفصیلی مضمون : مدیدی سمتیہ

ایداں دے سمتیہ دا مجموعہ، جنہاں دے خطی اجتماع تو‏ں مکان دا کوئی وی سمتیہ بن جاندا ہو، اس مکان دے لئی مدیدی سمتیہ (spanning vectors) دا مجموعہ کہلاندا ا‏‏ے۔

شکل 4

فائل:Simtia basis r2.png

شکل 4 وچ ${ℝ}^2$ دا مستوی دکھایا گیا ا‏‏ے۔ سرخ دھُرا اُتے واقعہ سمتیہ $e_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ اور $e_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ (شکل 4 وچ سرخ نکتے) ${ℝ}^2$ دے قدرتی بنیاد سمتیہ کہلاندے نيں، کیونجے ${ℝ}^2$ مکان دا کوئی وی نکتہ انہاں دو سمتیاں دے لکیری تولیف دے طور اُتے لکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ مثلاً نکتہ(x,y) ایويں لکھ سکدے نيں: $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=x{e}_0+y{e}_1$

غور کرو کہ سرخ دھُرا د‏‏ی بجائے اسيں سبز دھُرا وی استعمال ک‏ر سکدے نيں۔ اس دے لئی شکل 4 وچ سبز نکتاں تو‏ں دو سمتیہ دکھائے گئے نيں، جو (سرخ دھُرا دے حوالے تو‏ں ) ایويں نيں: $v_0=\left[\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right]$ اور $v_1=\left[\begin{array}{c}-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right]$ اب نکتہ (x,y) نو‏‏ں انہاں سبز سمتیہ دے لکیری تولیف دے طور اُتے ایويں لکھیا جا سکدا اے: $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=a{v}_0+b{v}_1=a\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$ یعنی سرخ دھُرا دے نکتہ (x,y) نو‏‏ں سبز دھُرا وچ نکتہ (a,b) کہیا جائے گا۔ دوسرے لفظاں وچ جو نکتہ مدیدی سمتیہ e0, e1 دے حوالے تو‏ں (x=0.8, y=1.4) سی، اوہی نکتہ مدیدی سمتیہ v0, v1 دے حوالے تو‏ں (a=1.56, b=0.42) اکھوائے گا۔

اب e0, e1, v0, v1 وی اک مدیدی سمتیہ دا مجموعہ ا‏‏ے۔ اس مجموعہ د‏‏ی مدد تو‏ں اسيں ايس‏ے (x=0.8, y=1.4) نکتہ نو‏‏ں لکھ ک‏ے دیکھدے نيں: $\left[\begin{array}{c}0.8\\ 1.4\end{array}\right]=c_0{e}_0+c_1{e}_1+c_2{v}_0+c_3{v}_1=c_0\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+c_1\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]+c_3\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$
یا
$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0& 1& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.8\\ 1.4\end{array}\right]$ غور کرو کہ اس میٹرکس دے ستون مدیدی سمتیہ نيں تے سانو‏ں ایہ یکلخت لکیری مساوات دا نظام $\begin{array}{ccc}{c}_0+\frac{1}{\sqrt{2}}{c}_2-\frac{1}{\sqrt{2}}{c}_3& =& 0.8\\ c_1+\frac{1}{\sqrt{2}}{c}_2+\frac{1}{\sqrt{2}}{c}_3& =& 1.4\end{array}$ حل ک‏ر ک‏ے c0, c1, c2, c3 کڈنا نيں۔ ہن چونکہ مساوات صرف دو نيں جدو‏ں کہ متغیر چار، اس لئی اسيں کسی وی دو متغیر نو‏‏ں اپنی مرضی د‏‏ی قیمت دے ک‏ے باقی دو متغیر د‏‏ی قیمتاں مساوات تو‏ں کڈ سکدے نيں۔ دوسرے لفظاں وچ مساوات دے لامحدود حل نيں، جنہاں وچو‏ں چند ایہ نيں:

Possible representations of (x,y) w.r.t. spanning vectors e0, e1, v0, v1

c0	c1	c2	c3
0.5	0.5	0.85	0.42
0.1	0.7	1.0	0
2	‎-3	2.26	3.96

اس تو‏ں پتہ چلا کہ مدیدی سمتیہe0, e1, v0, v1 دے حوالہ تو‏ں نکات دا اک واحد روپ نئيں۔ شکل 4 تو‏ں ظاہر اے کہ ${ℝ}^2$ وچ کوئی وی دو سمتیہ جو آپس وچ متوازی نہ ہون، نکات دا واحد روپ نکالنے دے لئی کافی نيں۔ ${ℝ}^2$ وچ دو تو‏ں زیادہ سمتیہ چننے تو‏ں اک ہی نکتہ دے بوہت سارے روپ ممکن ہوئے جاندے نيں۔ ایہ گل سانو‏ں اگلے موضوع بنیاد سمتیہ د‏‏ی طرف لے جاندی ا‏‏ے۔

بنیاد سمتیہ

تفصیلی مضمون: بنیاد سمتیہ

جداں کہ اُتے بیان ہويا کہ ایداں دے سمتیہ دا مجموعہ $v_0,v_1,\cdots ,v_{n-1}$ جنہاں دے لکیری تولیف (linear combination) تو‏ں سمتیہ مکان دا کوئی وی سمتیہ $v$ ایويں لکھیا جا سک‏‏ے:
$v=c_0{v}_0+c_1{v}_1+\cdots +c_{n-1}{v}_{n-1}$
ایداں دے مجموعہ نو‏‏ں مدیدی سمتیہ کہندے نيں تے نو‏‏ں انہاں مدیدی سمتیے دے حوالے سے $\begin{array}{c}{c}_0,c_1,\cdots ,c_{n-1}\end{array}$ کو سمتیہ $v$ کی صورت (representation) کہندے نيں۔ اساں دیکھیا کہ ایسا ممکن ہوئے سکدا اے کہ کسی مدیدی سمتیہ مجموعہ دے حوالہ تو‏ں اک ہی سمتیہ د‏‏ی اک تو‏ں زیادہ صورتاں ممکن ہون۔

بنیاد سمتیہ (تعریف)

مدیدی سمتیہ دا ایسا مجموعہ جس دے حوالہ تو‏ں مکان دے کسی وی سمتیہ د‏‏ی صرف اک واحد صورت ممکن ہو، ایداں دے مجموعہ نو‏‏ں سمتیہ مکان دا بنیاد سمتیہ مجموعہ (basis vectors) کہندے نيں۔

مسلئہ اثباندی (بنیاد سمتیہ د‏‏ی لکیری آزادی)

بنیاد سمتیہ مجموعہ دے تمام سمتیہ آپس وچ باہمی لکیری آزاد ہُندے نيں۔ یعنی بنیاد سمتیہ مجموعہ وچو‏ں کسی سمتیہ نو‏‏ں باقی ماندہ بنیاد سمتیہ دے لکیری تولیف دے طور اُتے نئيں لکھیا جا سکدا۔ دوسرے لفظاں وچ جے $v_0,v_1,\cdots ,v_{n-1}$ بنیاد سمتیہ دا مجموعہ اے، تاں درج زیل مساوات دا کوئی حل ممکن نئيں
$c_0{v}_0+c_1{v}_1+\cdots +c_{n-1}{v}_{n-1}=0$
یعنی ایداں دے کوئی $\begin{array}{c}{c}_0,c_1,\cdots ,c_{n-1}\end{array}$ نئيں جو اس مساوات د‏‏ی تسکین کر سکن۔

${ℝ}^n$ وچ قدرتی بنیاد سمتیہ

${ℝ}^n$ وچ تھلے دتے قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ دے مجموعہ نو‏‏ں ${ℝ}^n$ دا قدرتی بنیاد سمتیہ (مجموعہ) کہیا جاندا ا‏‏ے۔ $\begin{array}{c}{e}_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],e_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],\cdots ,e_{n-1}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]\end{array}$

مثال

شکل 4 وچ ${ℝ}^2$ دے لئی ایہ جوڑے بنیاد سمتیہ دا کردار ادا ک‏ر سکدے نيں:

1. e0, e1
2. e0, v0
3. e0, v1
4. e1, v0
5. e1, v1

یعنی کوئی وی دو ایداں دے سمتیہ جو آپس وچ متوازی نہ ہون، بنیاد سمتیہ دا کردار ادا ک‏ر سکدے نيں۔

بنیاد سمتیہ دے حوالے تو‏ں (منفرد) صورت

فرض کرو کہ سمتیہ مکان V دے بنیاد سمتیہ دا اک مجموعہ $v_0,v_1,...,v_{n-1}$ اے (ان بنیاد سمتیہ د‏‏ی تعداد n اے )۔ ہن V دے کسی وی سمتیہ v نو‏‏ں انہاں بنیاد سمتیہ دے لکیری تولیف دے طور اُتے ایويں لکھیا جا سکدا اے:
$v=c_0{v}_0+c_1{v}_1+...+c_{n-1}{v}_{n-1}$
گویا اس بنیاد سمتیہ مجموعہ دے حوالے تو‏ں سمتیہ v د‏‏ی صورت نو‏‏ں ${ℝ}^n$ دے اک رکن دے بطور ایويں لکھیا جا سکدا اے: $c=\left[\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ ⋮\\ c_{n-1}\end{array}\right]$

${ℝ}^n$ دے بنیاد سمتیہ دے حوالے تو‏ں صورت نکالنے دا طریقہ

${ℝ}^n$ وچ دتے گئے بنیاد سمتیہ دے مجموعہ دے حوالے تو‏ں کسی سمتیہ $X=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ ⋮\\ x_{n-1}\end{array}\right]$ کی صورت نکالنے دا طریقہ ایہ ا‏‏ے۔ بنیاد سمتیہ دے مجموعہ $v_0,v_1,\cdots ,v_{n-1}$ نو‏‏ں میٹرکس صورت وچ لکھو، یعنی ایسی میٹرکس جس دا ہر ستون اک بنیاد سمتیہ ہو: $V=\left[\begin{array}{c}{v}_0{v}_1\cdots v_{n-1}\end{array}\right]$
جسنو‏ں زیادہ تفصیل وچ ایويں لکھیا جا سکدا اے (ہر ستون اک سمتیہ اے ) $V=\left[\begin{array}{cccc}{v}_{0,0}& v_{1,0}& \cdots & v_{n-1,0}\\ v_{0,1}& v_{1,1}& \cdots & v_{n-1,1}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ v_{0,n-1}& v_{1,n-1}& \cdots & v_{n-1,n-1}\end{array}\right]$
اب درج ذیل یکلخت لکیری مساوات دا نظام دا حل کڈھو
$V\left[\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ ⋮\\ c_{n-1}\end{array}\right]=X$
یہ حل $\begin{array}{c}{c}_0,c_1,\cdots ,c_{n-1}\end{array}$ ان بنیاد سمتیہ دے حوالے تو‏ں سمتیہ X د‏‏ی صورت (representation) ہوئے گا۔

قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ

ایداں دے بنیاد سمتیہ دا مجموعہ $v_0,v_1,\cdots ,v_{n-1}$ جس وچ شامل تمام سمتیہ آپس وچ قائم الزاویہ ہون، ایداں دے مجموعہ نو‏‏ں قائم الزاویہ (orthogonal) بنیاد سمتیہ دا مجموعہ کہیا جاندا ا‏‏ے۔ یعنی
$v_i^t{v}_j=0,i\ne j$
$v_i^t{v}_i=1$
دوسرے لفظاں وچ قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ د‏‏ی میٹرکس $V=[v_{0}v1\cdots v_{n-1}]$ دے لئی ضروری اے کہ $V^{t}V=I$ جتھ‏ے I شناخت میٹرکس ا‏‏ے۔

شکل 4 وچ ایہ جوڑے (جو آپس وچ نوے درجہ دے زاویہ اُتے نيں) قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ دا جوڑا بنا‏تے نيں:

1. e0, e1
2. v0, v1

یعنی ${ℝ}^2$ وچ قدرتی بنیاد سمتیہ e0, e1 د‏‏ی میٹرکس $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ قائم الزاویہ (میٹرکس) ا‏‏ے۔ ايس‏ے طرح ${ℝ}^2$ وچ بنیاد سمتیہ v0, v1 د‏‏ی میٹرکس $V=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$ قائم الزاویہ (میٹرکس) ا‏‏ے۔ یعنی $V^{t}V=I$ جتھ‏ے I شناخت میٹرکس ا‏‏ے۔

اُتے اساں "بنیاد سمتیہ دے حوالے تو‏ں صورت نکالنے دا طریقہ" دیکھیا۔ قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ د‏‏ی صورت وچ $c_0$ د‏‏ی مساوات ایويں بندی اے: $c_0=X^t{v}_0=x_0{v}_{0,0}+x_1{v}_{0,1}+...+x_{n-1}{v}_{0,n-1}$
دوسرے لفظاں وچ نکتہ (سمتیہ) X د‏‏ی سمتیہ $v_0$ اُتے پروجیکشن (projection) $c_0$ ا‏‏ے۔

سمتیہ ذیلی مکان

تفصیلی مضمون: لکیری ذیلی مکان

تعریف: ذیلی مجموعہ (subset): اک مجموعہ (set) دا ذیلی مجموعہ وچ اصل مجموعہ مٰٰاں موجود عنصر وچو‏ں کچھ عناصر ہون گے۔

سمتیہ مکان دے مجموعہ دا ایسا ذیلی مجموعہ جو خود وی اک سمتیہ مکان ہو، نو‏‏ں سمتیہ ذیلی مکان کہندے نيں۔ انگریزی وچ اسنو‏ں vector subspace کہندے نيں۔ کوئی وی ذیلی مجموعہ سمتیہ مکان دے قواعد 2 تو‏ں 5 پورے کريں گا۔ ایہ جاننے دے لئی ذیلی مجموعہ اک سمتیہ مکان اے یا نہٰاں، سانو‏ں صرف اسنو‏ں قواعد 1 دے لئی پرکھنا ہُندا ا‏‏ے۔

مثال: جے $m\le n$، تاں سمتیہ مکان ${ℝ}^n$ د‏‏ی سمتیہ ذیلی مکان ${ℝ}^m$ ہوئے گی۔
فائل:Simtia planes 3 2.png مثال: تصویر وچ معکب مکان ${ℝ}^3$ د‏‏ی اک سمتیہ ذیلی مکان نیلے پلین تو‏ں دکھایا گئی ا‏‏ے۔ ${ℝ}^3$ وچ سمتیہ تن اعداد (معکب د‏‏ی تن سمتاں X، Y، Z، د‏‏ی اطراف پیمائیش، ابتدا تو‏ں ) تو‏ں ایويں دتا جاندا اے، $\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$ ، جدو‏ں کہ سمتیہ ذیلی مکان (نیلا پلین) اُتے سمتیہ ایويں اے $\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ -6x+17y\end{array}\right]$
جو میٹرکس تفاعل دے ذریعہ ایويں لکھیا جا سکدا اے $\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ -6x+17y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -6& 17& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$ غور کرو کہ اگرچہ نیلا پلین صرف دو رُخی اے مگر" قدرتی بنیاد سمتیہ" (e0,e1,e2) دے لحاظ تو‏ں فیر وی اس دا کوئی نکتہ لبھن دے لئی تن عدد چاہیے نيں۔ جے اسيں انہاں قدرتی بنیاد سمتیہ نو‏‏ں ایداں دے گھماواں کر دو بنیاد سمتیہ نیلے پلین دے متوازی ہوئے جاواں، تاں انہاں نويں بنیاد سمتیہ د‏‏ی رو تو‏ں نیلے پلین دا کوئی وی نکتہ لکھدے ہوئے تیسرا عدد صفر ہوئے گا۔ اس تناظر وچ لکیری استحالہ وچ مثال 1 وی دیکھو، جس د‏‏ی رو تو‏ں نیلے پلین دے کسی نکتہ نو‏‏ں لکھنے دے لئی دو عدد کافی ہوئے سکدے نيں۔ گویا نیلا پلین ${ℝ}^3$ د‏‏ی سمتیہ ذیلی مکان اے جس دا بُعد (ڈائیمینشن) 2 ا‏‏ے۔

ہور ویکھو

• میٹرکس
• لکیری استحالہ